七、匀变速直线运动的规律

速度和时间的关系前面我们已经用速度图象表示出速度和时间的关系，引入了加速度这个物理量，这种关系就可以用公式来表示。匀变速直线运动的加速度是恒定的，由加速度公式a = υt − υ 0 得到

t

? t=? 0+at。 （1）

这是匀变速直线运动的速度公式，它表示出了匀变速直线运动的速度和时间的关系。? t 是 t 的一次函数，从学过的数学知识知道，它的函数图象是倾斜的直线，这正是前面学过的匀变速运动的速度图象。直线在纵轴上的截距等于? 0，直线的斜率等于加速度的大小。

位移和时间的关系 匀速直线运动的位移可以用位移公式 s＝? t 求出，也可以利用速度图象求出。设某一匀速运动的速度? ＝3 米/秒，在 t

＝5 秒内发生的位移 s＝? t＝15 米。位移的数值等于图 4-23 中画有斜线的长方形的“面积”，即等于线段 OB 的“长度”（3 米/秒）乘以线段 OA 的“长度”（5 秒）。

我们也可以利用速度图线来求做匀变速直线运动的物体在时间 t 内的位移。设想把时间 t 分成许多小的时间间隔，在每一个小的时间间隔内物体都做匀速运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，速度跳跃性地增加。也就是用图 4-24 甲中折线 AA′BB′CC′⋯⋯所表示的设想的运动， 代替由直线 AP 所表示的真实的匀变速运动。这种设想的运动，每一个小的时间间隔内的位移，数值上等于相应时间间隔的图线下方的一条矩形的面积；在时间 t 内的位移，在数值上等于折线下方画有斜线部分的面积。时间间隔分得越细，设想的运动就越接近真实的运动（图 4-24 乙）。当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线 AP，设想的运动就代表了真实的运动。由此可以求出匀变速运动在时间 t 内的位移，它在数值上等于直线 AP 下方的梯形 OAPQ 的面积（图 4-24 丙）。这个面积 S＝S1＋S2＝OA×OQ

• 1 AR×RP = υ

2

1

₀t + 2 at

²。即位移

s = υ0

t + 1 at ² . ( 2 )

2

这就是匀变速直线运动的位移公式，它表示出匀变速直线运动的位移和时间的关系。

上述推理中，以及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼进的方法，这是高等数学的基本思想之一，我们要注意领会。

位移和速度的关系 由（1）（2）两式消去 t，得到

υ² − υ² = 2as. ( 3)

t 0

在有些问题中，没有给出或者不涉及时间 t，应用（3）式求解比较方便。

【例题】一个滑雪的人，从 85 米长的山坡上匀变速滑下，初速度是

1. 米/秒，末速度是 5.0 米/秒，他通过这段山坡需要多长时间？

分析和解答已知三个物理量：? 0＝1.8 米/秒，? t＝5.0 米/秒，s＝ 85 米。单独用（1）式或（2）式都不能求得未知量 t，需用（1）（2）两式联立求解。（1）（2）两式中共有五个量，已知其中三个量，可求得另外两个未知量 a 和 t。本题不要求解出 a，消去 a，解出 t，即可求得答案。

由（1）式可得 at＝? t－? 0，代入（2）式中得

1

s = υ0 t + 2 (υt − υ0 )t

= 1 ( υ

2 0

解出 t，代入数值得到

• υt

2s

)t. ( 4 )

t =

0

• υ t

= 25秒.

设一个做匀变速直线运动的物体在时间 t 内的位移为 s，那么，在这

段时间内的平均速度υ′＝s / t。将（4）式代入可得

υ = 1 (υ

2 0

+ υt ).

上式表示：在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于这段时间的初速度和末速度的平均值。要注意这个结论只适用于匀变速直线运动。

我们要善于应用学过的数学知识处理物理问题，有意识地培养这方面的能力。在用代数知识求解未知量时，一般可先进行文字运算，得出用已知量表达未知量的关系式，然后进行数值计算。这样能够清楚地看出未知量与已知量的关系，进行数值计算也往往比较简便。