八、矢量 同一直线上的矢量运算

矢量和标量 我们在初中学过的长度、质量、时间等等物理量，它们的大小可以用一个带有单位的数值来表示。例如说铅笔长 15 厘米，钢块的

质量 50 千克等等。我们用 15 厘米就能完全描述这支铅笔的长度，用 50 千克就能完全描述这块钢的质量。力这个物理量却和上述物理量不同。力有大小，也可以用带有单位的数值来表示。例如说这个力是 10 牛，那个力

是 6 牛。可是，这样并没有把一个力完全表达出来。要把一个力完全表达出来，除了说明它的大小，还要指明它的方向才行。

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在物理学中，我们可以把物理量分为两类。一类叫做标量。标量只有 大小，没有方向。长度、质量、时间、温度、功、能等，都是标量。另一类叫做矢量。矢量既有大小，又有方向。力是矢量，初中学过的速度也是 矢量，以后还要学到其他矢量。

矢量可以用一根带箭头的线段来表示。前面讲的力的图示，其实就是力矢量的表示。速度矢量以及其他矢量都可以这样来表示。

认识到矢量和标量的不同，这是物理学研究中的一大进步。有了矢量的概念并且运用矢量的运算规则，我们就能很方便地研究和处理一些物理问题。

两个同类的标量，只要单位相同，它们的数值就可以用代数加法来运算。比如一个质量是 10 千克，另一个质量是 5 千克的物体，它们的总质量

就是 15 千克。矢量则不能这样运算。一个物体受到两个力，一个是 10 牛，

一个是 5 牛。这两个力共同作用所产生的效果不仅决定于它们的大小，而且决定于它们的方向。前面讲的力的合成就充分说明了这一点。力的合成要按照平行四边形定则来进行。平行四边形定则不仅适用于力的合成，对于别的矢量（如速度矢量）同样适用，它是矢量合成即矢量加法运算的普遍定则。

同一直线上的矢量运算 这一节以力矢量为例讲一讲同一直线上的矢量的运算，以备以后的应用。虽然是以力矢量为例来讲的，但对任何矢量都适用。

矢量既有大小，又有方向。如果被运算的矢量在一条直线上，那么， 我们就可以用一个带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来。为此，我们沿着矢量所在的直线选定一个正方向（图 3－24），规定凡是方向跟正方向相同的矢量都取正值，凡是方向跟正方向相反的矢量都取负值，例如图中 F1=5 牛，F2=-5 牛，F3＝7 牛，F4=-5 牛。这里，根据数值的正负号就可以知道力的方向；而力的大小等于它们的绝对值，分别是 5 牛， 5 牛，7 牛，5 牛。

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既然同一条直线上的矢量可以用带正负号的数值来表示，它们的运算就可以简化为代数运算。

1. 如果两个矢量大小相等而且方向相同，如图 3—24 中的 F2 和 F4， 我们就说这两个矢量相等，写成代数式就是

F2＝F4。

1. 如果两个矢量大小相等而方向相反，如图 3－24 中的 F1 和 F2， 由于它们只是符号相反，写成代数式就是

F1=-F2。

1. 如图 3－25 所示，设有两个力 F1 和 F2 作用在一个物体上，我们可以利用加法运算求出合力 F：

F＝F1＋F2

＝10 牛+（-6 牛）

＝4 牛。

这表示合力的大小是 4 牛，结果是正值，表示合力的方向与选定的正方向相同。即合力的方向跟两个力中较大的那个力的方向相同。

1. 我们也可以利用减法运算求分力。如图 3－26 所示，已知合力 F 和一个分力 F1，那么，另一个分力

F2＝F-F1

＝8 牛-（-3 牛）

＝11 牛。

这表示 F2 的大小是 11 牛，方向与选定的正方向相同。

需要强调指出：只有同一直线上的矢量，它们的运算才可以像上述 那样简化成代数运算。这是平行四边形定则在这种特殊情况下的运 用。不在同一直线上的矢量，它们的运算不能这样简化成代数运算，仍必须按照平行四边形定则来进行。

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还要指出的是：这里用带有正负号的数值既表示出矢量的大小，又表示出矢量的方向；如果专指矢量的大小，就要取绝对值，即矢量的大小总是正值。本章前面各节中的公式，如公式

f＝kx， f＝? N，

等等都是关于力矢量大小的公式。利用这些公式来计算，其中的各力都取正值。