*三、向心加速度公式的推导

如图 11－7 甲所示，设质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，在某时刻 t 位于 A 点，速度为? A，经过很短的时间Δt，运动到 B 点，速度为

? B。把速度矢量? A 和? B 的始端移至一点，根据三角形法求出速度矢量的改变量Δ? ，如图 11－7 乙所示。

比值Δ? /Δt 是质点在Δt 时间内的平均加速度，方向与Δ? 的方向

相同。当Δt 足够短，或者说Δt 趋近于零时，Δ ? /Δt 就表示出质点在 A 点的瞬时加速度。在图 11－7 乙所示矢量三角形中，? A 和? B 的大小相等， 当Δt 趋近于零时，Δφ也趋近于零，Δ ? 的方向趋近于跟? A 垂直而指向圆心。这就是说，做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度，方向都沿半径指向圆心。

图 11－7 乙中的矢量三角形与图 11－7 甲的三角形ΔOAB 是相似形。用? 表示? A 和? B 的大小，用Δs 表示弦 AB 的长度，则有

∆υ = ∆s 或 ∆υ = ∆ υ

用Δt 除上式得

υ r s r .

∆υ = ∆s · υ .

∆t ∆t r

∆υ ∆s

当∆t趋近于零时，

? ，于是得到

∆t 表示向心加速度a的大小， ∆t 表示线速度的大小

υ 2

a = r 。

这就是向心加速度的公式。再由? =r? 和 F=ma 就可以得出上一节中的向心加速度和向心力的公式。