二、向心力 向心加速度

向心力 我们在第五章学过，物体做曲线运动时，必定受到与速度方向不在同一直线上的合外力的作用。匀速圆周运动是曲线运动，做匀速圆周运动的物体必定也受到与速度方向不在同一直线上的合外力的作用。这个合外力是怎样的呢？

先来看合外力的方向。如图 11-3 所示，在光滑水平桌面的 O 点固定一根钉子，把绳的一端套在钉子上，另一端系一个小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动。小球之所以能绕着 O 点做匀速圆周运动，是因为绳对小球始终有一个拉力 f，这个拉力的方向虽然不断变化，但总是沿半径指向圆心，所以叫做向心力。做匀速圆周运动的物体，始终受到向心力的作用。如果将钉子拔掉，向心力消失，小球就沿着圆周的切线飞出（图 11－4）。

向心力指向圆心，而物体运动的方向沿切线方向，所以向心力的方向总与物体运动的方向垂直。物体在运动方向上不受力，在这个方向上没有加速度，速度大小不会改变。所以向心力的作用只是改变速度的方向。

向心力的大小与哪些因素有关呢？具体的关系又是什么呢？让我们来做一个定性的实验。

用手握住系有小球的细绳，转动绳子使小球在光滑的水平桌面上做圆周运动。这时可以感觉到绳对手有拉力，这个拉力的大小等于小球所受向心力的大小。保持半径 r 不变，增大角速度ω，可以感觉到绳对手的拉力增大；保持角速度ω不变，增大半径 r，也可以感觉到绳对手的拉力增大。换用另外一个质量大的小球，跟原来那个小球相比，在角速度ω和半径 r 相同时，同样可以感觉到绳对手的拉力增大。这表明，向心力的大小跟物体的质量 m、圆周半径 r 和角速度ω都有关系。

可以证明，匀速圆周运动所需的向心力大小为

F＝mr? 2 （1）

在许多情况下，需要知道线速度的大小与向心力的关系。这个关系可

υ

以用线速度与角速度的关系求出来。将ω＝ r 代入（1）式，得

υ 2

F＝m r .

（ 2 ）

向心加速度 做圆周运动的物体，在向心力 F 的作用下，必然要产生一个加速度，这个加速度的方向与向心力的方向相同，总指向圆心，叫做向心加速度。根据牛顿第二定律 F=ma，由（1）式和（2）式可得向心加速度 a 的大小为

a = r? 2， （3）

或

υ 2

a = r 。 （ 4 ）

对于某一确定的匀速圆周运动来说，m 以及 r、? 、ω都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但向心力和向心加速度的方向却时刻在改变。匀速圆周运动是瞬时加速度矢量的方向不断改变的变速运动。

向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动得出的，但也适用于变速圆周运动，即线速度（或角速度）的大小时刻改变的圆周运动。在

变速圆周运动中，向心力和向心加速度的大小是随着线速度（或角速度） 的大小而变化的。利用上面的公式求质点在圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。