六、机械能守恒定律的应用

解决某些力学问题，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律来求解，往往带来方便。应用机械能守恒定律来解决力学问题，也要先分析物体的受力情况。在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力做功，其他力不做功，就可以应用机械能守恒定律。

【例题 1】物体从 1 米高、2 米长的光滑斜面顶端开始无摩擦地滑下（图10－24），到达斜面底端时的速度是多大？（空气阻力不计）

分析和解答 斜面是光滑的，没有摩擦，又不计空气阻力，斜面对物体的支持力与物体的运动方向垂直，不对物体做功，因而物体在下滑过程中只有重力做功，机械能是守恒的。

题中没有给出物体的质量，但可以设物体的质量为 m。物体在开始下滑时，Ep1＝mgh，Ek1=0，初状态的机械能 E1＝Ep1+Ek1=mgh；到达斜面

底端时物体的速度是u，E = 0，

1. υ ²，末状态的机械能E = E

+ E 1

υ²。

p2 Ek2 = 2 m

1. p2

_k2 = 2 m

根据机械能守恒定律 E2=E1 有

Ep2+Ek2=Ep1+Ek1，

由此可得

υ =

1 mυ² = mgh 。

2

= 2 × 9.8 × 1米 / 秒 = 4.4米 / 秒。

这个问题，应用牛顿运动定律和运动学公式求解，也可以得到同样的结果。但是应用机械能守恒定律，在解决问题的思路和步骤上都要简单得多。

机械能守恒定律，是应用牛顿运动定律推得的。然而在有些情况下， 直接应用牛顿运动定律讨论问题，要涉及变化相当复杂的合外力，这时机械能守恒定律的优点就更明显了。在上述例子里，如果把斜面换成光滑的曲面（图 10－25），同样可以应用机械能守恒定律求解，而直接应用牛顿运动定律，由于物体在曲面上受的合外力是时刻变化的，处理起来就困难得多。我们来看下面一个例题。

【例题 2】一个摆长是 l 的单摆，最大偏角是? 。求单摆在最低位置的速度（图 10－26）。

分析和解答 这个问题直接用牛顿第二定律和运动学的知识来处理，需要用高等数学。现在用机械能守恒定律来处理。

摆锤受到两个力：重力和悬线的拉力。悬线的拉力始终垂直于摆锤的运动方向，不做功，所以单摆的机械能守恒。

选择摆锤在最低点时所在的水平面作参考平面。摆锤在最高点时为初状态，这时摆锤的动能 Ek1=0，重力势能 Ep1＝mg（l-lcos? ），机械能 E1=mg

（l-lcos? ）。摆锤在最低点时为末状态，这时摆锤的动能 Ek2=

1. mυ²，重力势能E = 0，机械能 1 υ²。根据机械能守恒定律

2. p2

E2=E1 有

E2 = 2 m

由此得

Ep2＋Ek2=Ep1＋Ek1，

1 mυ² ＝mg（l－lcosθ），

2

由这两个例子可以看出，应用机械能守恒定律，允许我们只讨论运动的初状态和末状态，而不必考虑这两个状态之间过程的细节，可以避免直接应用牛顿定律遇到的困难，也简化了解决问题的步骤。在这一点上，机械能守恒定律跟我们学过的动量守恒定律是相同的。

守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。自然界千变万化，但是人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些“守恒量”来表示物理世界变化的规律，这就是守恒定律。机械能守恒定律以及上一章学过的动量守恒定律就是其中的两个。正因为自然界存在着“守恒量”，而且某些守恒定律的适用范围很广泛，所以，在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理学研究工作的一个重要方面。我们学习物理，也要学会运用守恒的观点来处理问题。