六、力的合成

力的合成 在大多数实际问题里，物体往往不只受到一个力，而是同时受到几个力。一个物体受到几个力共同作用的时候，我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力共同产生的效果相同。一个力，如果它产生的效果跟几个力共同产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力。求几个力的合力叫做力的合成。

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。我们先来研究两个共点力的合成。

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图 3－15 甲表示橡皮条 GE 在力 F1 和 F2 的共同作用下，沿着直线 GC伸长了 EO 这样的长度。图 3－15 乙表示撤去 F1 和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线伸长相同的长度。力 F 对橡皮条产生的效果跟力 F1 和 F2 共同产生的效果相同，所以力 F 是力 F1 和 F2 的合力。合力 F 跟力 F1 和 F2 有什么关系呢？在力 F1 和F2 的方向上各作线段OA

和 OB，根据选定的标度，使它们的长度分别表示力 F1 和 F2 的大小（图 3

－15 丙）。以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形 OACB。量出这个平行四边形的对角线 OC 的长度，可以看出，根据同样的标度，合力 F 的大小和方向可以用对角线 OC 表示出来。

改变力 F1 和 F2 的大小和方向，重做上述实验，可以得到同样的结论。可见，求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段

为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方

向。这叫做力的平行四边形定则。

如果有两个以上的共点力作用在物体上，我们也可以应用平行四边形定则求出它们的合力：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的合力就是这些力的合力。

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力的平行四边形可以用力的三角形来代替。在图 3－16 甲中 F 是共点力 F1 和 F2 的合力。如图 3－16 乙所示，从 O 点出发，把代表 F1 和 F2 的线段 OA、AC 首尾相接地画出来，连接 O 和 C，从 O 指向 C 的线段就表示合力 F 的大小和方向。上述作图法叫做力的三角形法。作三角形 OBC（图 3

－16 丙）同样可以求出 F1 和 F2 的合力 F。用力的三角形法求合力，有时显得方便。

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力的合成的计算 合力的大小和方向，还可以利用公式来计算。图 3

－17 中的 OA 和 OB 分别表示力 F1 和 F2，OC 表示它们的合力 F，力 F1 和 F2 的夹角为θ。

在三角形 OAC 中，根据余弦定理得到

F² = F² ＋F² －2F F cos（180°−θ）

1 2 1 2

＝ F² ＋ F²＋ 2F F cosθ.

1 2 1 2

所以合力的大小

(1)

合力的方向可以用合力跟原来任一个力的夹角表示出来。图中用 F 跟F1 的夹角φ来表示。利用直角三角形 ODC，可以求出角φ的正切：

CD

tgφ = OD =

CD

OA + AD =

F2 sin θ

F1 + F2 cos θ

. ( 2)

讨论一下，力 F1 和 F2 的大小一定时，合力的大小跟这两个力的夹角? 的关系。什么情况下，合力最大？什么情况下合力最小？当? 由 0°增大到 180°的过程中，合力 F 的变化情况是怎样的？