四、匀速圆周运动的实例分析

研究匀速圆周运动的问题，需要分析运动物体的受力情况，弄清楚向心力的来源，这是解决问题的关键。有的同学认为，做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要受到一个向心力的作用。这是不对的。向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力。下面分析两个具体例子。

火车转弯 在平直轨道上匀速行驶的火车，所受的合外力等于零。在火车转弯时，是什么力做为向心力呢？原来，火车的车轮上有凸出的轮缘

（图 11－10），如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是使火车转弯的向心力（图 11－ 11）。火车的质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨很容易受到损坏。

如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力 G 的合力F 指向圆心，成为使火车转弯的力。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力 G 和支持力 N 的合力 F 来提供（图 11－12）。这样，外轨就不受轮缘的挤压了。

铁路转弯处的圆弧半径是 300 米，轨距是 1435 毫米，规定火车通过这里的速度

是 72 千米/时，内外轨的高度差应该是多大，才能使外轨不受轮缘的挤压？

杂技节目“水流星” 许多同学都看过杂技演员表演的“水流星”。一根绳子系着盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就做圆周运动，而且水不从杯里洒出。甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也不会从杯里洒出来。为什么杯子运动到最高点时，水不会下流呢？

如图 11－13 所示，当杯子以速度? 转过竖直圆周的最高点时，杯中

υ 2

的水做圆周运动所需的向心力，方向是向下的，大小是F＝m r ，式中

的 m 是水的质量，r 是圆周运动的半径。这个向心力的来源是什么呢？

υ2

当杯子在竖直圆周最高点的速度u满足m r = G = mg这个关系时，

即υ = gr 时，所需向心力F＝G。这时，水做圆周运动的向心力完全是由

它所受的重力G提供的。υ = gr 是杯子能达到竖直圆周最高点的最小速

υ2

度。这是因为，当υ＜ gr 时，m r ＜mg，即所需向心力F＜G。这样，

杯子将不能达到最高点，水流星的表演将不会成功。

杯子在竖直圆周最高点的速度u，一般说来是相当大的。当u＞

υ 2

时，m r ＞mg，即所需向心力F＞G，重力G就不足以提供水做圆周运

动所需的向心力了。这时杯中的水有远离圆心的趋势，向上压紧杯底，对杯底施加一个向上的压力 N＇，根据牛顿第三定律，杯底对水施加一个向下的压力 N（图 11－13 下图）。向心力的不足部分，就由这个向下的压力N 来补足，水做圆周运动所需的向心力 F 就是重力 G 和向下压力 N 的合力。