五、机械能守恒定律

我们在初中学过，重力势能和动能之间可以发生相互转化。物体自由下落时，速度越来越大，表示物体的动能增加；同时，高度越来越小，表示重力势能减小。这时，重力势能转化成动能。在竖直上抛物体的上升运动中，速度越来越小，表示物体的动能减小；同时，高度越来越大，表示重力势能增加。这时，动能转化为重力势能。这一节，我们定量地研究这种转化。

自由落体运动中能的转化 如图 10－20 所示，设一个质量为 m 的物体，从高度是 h1 的 A 点（初位置）自由下落到高度是 h2 的 B 点（末位置），初位置的速度为? 1 ，末位置的速度为? 2。在自由落体运动中，物体只受重力 G=mg 的作用，重力做正功。设重力所做的功为 WG，则由动能定理可得

1 2 1 2

WG = 2 mυ 2 － 2 mυ1 。（1）

式表示，重力所做的功等于动能的增加。另一方面，我们由重力做功与重力势能的关系知道，

WG＝mgh1—mgh2。（2）

式表示重力所做的功等于重力势能的减少。可见，在自由落体运动中，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为等量的动能。

竖直上抛运动上升过程中能的转化 上升过程中，物体只受重力的作用。设物体由初位置 A 上升到末位置 B，在此过程中重力做负功（图 10

－21）。由动能定理可得

W = 1 mυ² − 1 mυ² . ( 1)

G 2 2 2 1

＇式中 WG 为负值，这表示克服重力所做的功等于动能的减少。由重力做功与重力势能的关系知道，

WG=mgh1－mgh2。（2）＇

＇式表示，克服重力所做的功等于重力势能的增加。可见，在竖直上抛运动上升过程中，克服重力做了多少功，就有多少动能转化成等量的重力势能。

结论由（1）式和（2）式，或者由（1）＇式和（2）＇式，我们得

到

1 mυ²－ 1 mυ² = mgh －mgh ，

2 2 2 1 1 2

移项后得到

1 mυ²＋ 1 υ² ＋mgh 。（ 3 ）

2 2 mgh 2 = 2 m 1 1

上式表示，在自由落体运动或竖直上抛运动上升过程中，动能和重力势能相互转化，但在运动的任何时刻，动能和重力势能之和，也就是总的机械能，保持不变。

上述结论不仅对自由落体运动和竖直上抛运动是正确的，可以证明，在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动，它总是正

确的。所谓只有重力做功，是指：物体只受重力，不受其他的力，如自由落体运动和各种抛体运动的情形；或者除重力而外还受其他的力，但其他力并不做功，物体沿光滑斜面运动就属于这种情形。

在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律，它是力学中一条重要规律，又是更普遍的能的转化和守恒定律的一个特例。

不仅重力势能和动能可以互相转化，弹性势能和动能也可以互相转化。放开一个被压缩的弹簧，它可以把一个跟它接触的小球弹出去，这时弹力做功，弹簧的弹性势能减少，转化为小球的动能。放开被拉开的弓，把箭射出去，这时弓的弹性势能减少，转化为箭的动能。在弹性势能跟动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能和弹性势能之和，即总的机械能，也保持不变。