三、动能 动能定理

我们在初中学过，物体由于运动而具有的能叫做动能。物体的动能跟物体的速度和质量都有关系，速度越大，质量越大，动能也越大。怎样定量地来表示动能呢？

动能定理 一架飞机在牵引力的作用下（暂不计阻力），在起飞跑道上加速运动，速度越来越大，表示其动能越来越大。牵引力做多少功，飞机的动能就增加多少，同时就有多少发动机燃汽的内能转化为飞机的动能。现在，我们根据功和能的这种关系来定量地确定物体的动能。

设一个物体质量为 m，初速度为? 1，在与运动方向相同的恒力 F 的作

用下，发生一段位移 s，速度增加到? 2（图 10－10）。在这一过程中，外力 F 所做的功 W=Fs。根据牛顿第二定律有 F=ma，又根据匀变速运动公

式υ² − υ²＝2as得s＝（υ² − υ² ） / 2a。所以，

2 1 2

1

υ² − υ²

Fs = ma ^{2 1}

2a

= 1 mυ² − 1 mυ² 。

( 1 )

2 2 2 1

从上式我们看到，力F所做的功等于 1 mυ ²这个量的变化，在物理学

2

中就用 1 mυ²这个量表示物体的动能，通常用E 2

k 来表示，即

1

Ek = 2 mυ 。

上式表示，物体的动能等于它的质量跟它的速度二次方的乘积的一 半。动能和功一样，也是标量。它的单位和功的单位相同，在国际单位制 中都是焦耳。这是因为 1 千克·米 2/秒 2=1 牛·米=1 焦。

我国发射的第一颗人造地球卫星的质量是 173 千克，轨道速度是 7．2 千米/时， 它的动能有多大？

这样，（1）式就可以写成

W=Ek2-Ek1， （2）

其中E

表示末动能 1 mυ² ，E 表示初动能 1 mυ²。

k2 2 2 k1 2 1

运动员用力把铅球投出去，使铅球由静止而获得 300 焦耳的动能，运动员对铅球做了多少功？

上面我们设外力方向与运动方向相同，导出了关系式 E＝Ek2-Ek1，这时外力做正功，动能增加。外力方向与运动方向相反时，上式同样适用， 这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值。我们知道，外力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做了功。因此，对这种情形，也可以说物体克服阻力所做的功等于动能的减少。例如在水平粗糙平面上运动的小

车，在摩擦力的作用下速度减小，这时动能的减少就等于它克服摩擦力所做的功。也就是说，克服摩擦力做了多少功，就有多少动能转化为等量的内能。

上述结论是假定物体只受一个力而推导出来的。如果物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做动能定理。这里所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力。

上面是在物体受恒定外力且做直线运动的情况下得出（2）式的。可以证明，当外力是变力，物体做曲线运动时，（2）式也是正确的。这时（2） 式中的 W 为变力所做的功。总之，不论外力是否为恒力，也不论物体是否做直线运动，外力所做的功，总等于末动能 Ek2 与初动能 Ek1 之差。正因为如此，所以动能定理有广泛的应用，经常被用来解决有关的力学问题。

【例题】一架喷气式飞机的质量 m＝5.0×103 千克，起飞过程中滑跑的距离 s＝5.3×102 米，起飞速度? ＝60 米/秒，在此过程中受到的阻力是飞机重的 k=0.02 倍。求起飞过程中的牵引力。

分析和解答 我们从能量的角度分析这个问题。

飞机原来是静止的，初动能 Ek1=0。飞机在水平方向受到的外力是牵引力 F 和阻力 f，在外力作用下飞机在跑道上滑跑一段距离 s，外力对飞机做功，飞机的动能增加，速度最后达到起飞速度? ，飞机的末动能

1 2

Ek2 = 2 mυ 。外力所做的总功等于Fs－fs。

根据动能定理可得

其中 f=kmg。

Fs − fs = 1 mυ² ，

2

由此得

将已知数据代入，得

mυ²

F = 2s

mυ²

= 2s

+ f

＋kmg。

F=1.8×104 牛。

从例题可以看出，利用动能定理来解力学问题，要明确物体的初动能和末动能，要分析物体的受力情况，并据此列出各个力所做的功，然后才可以利用动能定理来求解。

动能定理对于解决力学问题是很有用的。由于动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此应用它来处理问题往往比较方便。

本题也可以用牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式求解，会得到相同的结果。当你用牛顿第二定律和匀变速直线运动公式求解时，无形中作了这样一个假定，即牵引力是恒力。而动能定理的表达式对变力也适用，即使牵引力不是恒力，也可以应用动能定理，这时求得的力 F 是变力对路程的平均值。知道了这一点，你就会体会到为什么动能定理有广泛的应用了。