小猴子数桃子

猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子3 个 3 个地数，最后多出 1 个，它就把多出的一个扔在一边；它又 5 个 5 个

地数，到最后还是多出一个，它又把多出的 1 个扔在一边；最后它 7 个 7 个

地数，还是多出 1 个。它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。小朋友， 你知道这篮子里至少有多少个桃子吗？

分析与解 本题可概括为“一个数用 3 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3， 这个数最小是多少？”

我们从余数开始逆推：

由于用 3 除余 1，所以这个数为 3n+1（n 为正整数）。

要使 3n+1 这个数继而满足用 5 除余 2 的条件，可用 n=1，2，3⋯⋯来试代，发现当 n=2 时，3×2+1=7 满足条件。

由于 15 能被 3 和 5 整除，所以 15m+7 这些数（m 为正整数），也能满足用 3 除余 1，用 5 除余 2 这两个条件。

在 15m+7 中选择适当的 m，使之用 7 除得到的余数为 3。也是采取试代的方法，试代的结果得出：当 m=3 时满足条件。

这样 15×3+7= 52 为所求的答案，也就是说这篮桃子至少有 52 个。

对于这类用 3、5、7 三个数来除分别得到不同余数的题目，有没有一个解答的规律呢？有。我国有个著名的余数定理，它可以用四句诗来形象地记忆。

三人同行七十稀， 五树梅花廿一支， 七子团圆正半月， 抛五去百便得知。

这四句诗叫“孙子点兵”歌，外国称它为“中国剩余定理”。这首诗的意思是：70 乘上用 3 除所得的余数，21 乘上用 5 除所得的余数，15 乘上用 7

除所得的余数，然后把这三个乘积加起来，其和加或减 105 的整数倍，就可以得到所需要的数了。

现在我们回到本题，并运用上述办法求解。由于用 3 除余 1，用 5 除余 2， 用 7 除余 3，所以，

70×1+21×2+15×3

=70+42+45

=157

因为要求的是最小值，所以157-105

=52