有趣的“魔术数”

你知道“魔术数”吗？

将自然数 N 接写在另一个自然数的右边（例如，将 2 接着写在 34 的右边就是 342），如果得到的新数都能被 N 整除，那么自然数 N 就叫做魔术数。小朋友，在小于 100 的自然数中，你能找到多少个这样的魔术数，它们

各是几？

分析与解 我们首先发现 1 就是一个魔术数。因为不管把 1 写在哪一个

自然数右边，所得的新数都能被 1 整除。在剩下的八个自然数中，可以断定3、4、6、7、8、9 这六个自然数不是魔术数。这只要把这六个数分别接着写在 1 后面就可以明白了。那么剩下的 2 和 5 是不是魔术数呢？回答是肯定的。因为把 2 接写在任何一个自然数的右边，所得的新数的个位上的数字总是 2， 这些新数一定能被 2 整除，所以 2 是魔术数。同样道理，5 也是魔术数，这样我们就找到了三个一位魔术数：1、2、5。

我们再寻找两位魔术数。两位数从 10 到 99 为止，一共是 90 个。我们先把每一个两位数接写在 1 后面，很快就能发现，除了 10、20、25、50 以外， 其余的两位数都不能整除被接在 1 后面所得的新数，当然就肯定不是魔术数了。那么 10、20、25、50 这四个数是不是魔术数呢？ 10 是魔术数很容易确定。20 也是魔术数，因为把 20 接写在自然数 a 后面，新数就是（100a＋20）， 而 100a＋20=20×（5a＋1），显然能被 20 整除。用上述办法同样可以证明：

25、50 也是魔术数。这样，我们就找到了四个二位魔术数 10、20、25、50。细心的小朋友从上面找魔术数的过程中一定会发现，一位魔术数 1、2、

5 恰好是 10 的约数中所有的一位数；二位魔术数 10、20、25、50 恰好是 100

（102）的约数中的所有的二位数。那么，三位魔术数是不是 1000（103）的约数中的所有的三位数？四位魔术数是不是 104 的约数中的所有四位数？进而 n 位魔术数是不是 10n 的约数中的所有 n 位数？是的。不信你试试看。顺便告诉你，三位魔术数和三位以上的魔术数都是五个。这又是为什么？请你想想看。