变幻无穷的彩灯

少年宫游乐厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯或亮或暗，变幻无穷。

200 个灯泡按 1～200 编号。灯泡的亮暗规则是：第 1 秒，全部灯泡变亮；第

2 秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗；第 3 秒，凡编号为 3 的倍数的灯

泡改变原来的亮暗状态（即亮的变暗，暗的变亮）；第 4 秒，凡编号为 4 的倍数的灯泡改变原来亮暗状态。这样继续下去，⋯⋯200 秒为一周期。当第200 秒时，哪些灯是亮着的？

分析与解 在解答这个问题时，我们要用到这样一个知识：任何一个非平方数，它的全体约数的个数是偶数；任何一个平方数，它的全体约数的个数是奇数。例如，6 和 18 都是非平方数，6 的约数有：1、2、3、6，共 4 个； 18 的约数有 1、2、3、6、9、18，共 6 个。它们的约数的个数都是偶数。又例如，16 和 25 都是平方数，16 的约数有：1、2、4、8、16，共 5 个；25 的约数有 1、5、25，共 3 个。它们的约数的个数都是奇数。

回到本题。本题中，最初这些灯泡都是暗的。第一秒，所有灯都变亮了； 第 2 秒，编号为 2 的倍数（即偶数）的灯由亮变暗；第 3 秒，编号为 3 的倍数的灯改变原来的亮暗状态，就是说，3 号灯由亮变暗，可是 6 号灯则由暗变亮，而 9 号灯却由亮变暗⋯⋯。这样推下去，很难理出个头绪来。

正确的解题思路应该是这样的：凡是亮暗变化是偶数次的灯，一定回到最初状态，即是暗着的。只有亮暗变化是奇数次的灯，才是亮着的。因此， 只要考虑从第 1 秒到第 200 秒这段时间，每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态。

一个号码为 a 的灯，如果有 7 个约数，那么它的亮暗变化就是 7 次，所以每盏灯在第 200 秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数。我们已知道，只有平方数的全部约数的个数是奇数。这样 1～200 之间， 只有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196 这 14 个数为平方数，因而这些号码的灯是亮着的，而其余各盏灯则都是暗着的。

用奇偶性分析解题，是我们经常用的一种解题方法，既灵活又有趣。