江苏省丹阳市鹤溪中学 苏三林 赵解真 周建中丹阳市里庄初中 夏留根

众所周知，数学题多如牛毛，深似海洋，千变万化，怎么也做不完。搞“题海战术”是不能取得好成绩的。要解脱“代数繁，几何难”的困境，要取得优异的数学成绩，必须掌握以不变应万变的本领。例如，八五届学生马学平中考数学成绩 119 分（满分 120 分）、姜旭峰中考数学成绩 118 分，总

分 600 分（满分 640 分）⋯⋯他们就是掌握了这个本领，方能取得可喜的学习成绩。

所说不变，指所学的定义、定理、公式、法则不变，只要这些基本的知识掌握得牢，再能分清题的类型，然后采取相应的方法，遇题就能达到化繁为简、化难为易、举一反三、触类旁通的目的。下面略举几例谈谈怎样探求几何题的解法思路。

例 1 九义教科书《几何》第三册第 100 页第 10 题，已知△ABC 中，∠BAC 的平分线与边 BC 和外接圆分别相交于点 D 和 E，求证：△ABD∽△AEC

思考：先用“角平分线”定义，再用“同弧上圆周角相等”的性质，通过两个角对应相等的两个三角形相似即证得结论。

利用上题结论，可简便地解决一些几何题。例如： 1.题设不变，引申结论

连结 BE，可证明：BE²=AE·DE（95 年贵阳市中考试题） 2.增加条件，改造结论

若 I 是△ABC 的内心，可证明：EI=EB（九义制《几何》第三册第 117 页第 12 题）

1. 延伸变化，举一反三

96 年丹阳市中考试题第八题，考生感觉难度最大的题就是这道延伸变型题。试题如下：

已知：如图，在△ABC 中，∠A 的平分线交 BC 于 D，交△ABC 的外接圆于E，I 为 AD 上一点。且 IE²=AE·DE。

求证：I 为△ABC 的内心。

思路分析：要证 I 为△ABC 的内心，只要证明 I 在∠B 和∠C 的平分线上， 不妨连结 BI，易证△ABE∽△BDE，于是得 BE²=AE·DE，因为 IE²=AE·DE，所

以可得 BE=IE，故∠EBI=∠EIB，即∠4+∠5=∠1+∠5=∠1+∠3，又∠5=∠2=

∠1，最后得∠3=∠4，于是得证。通过对该题进行多角度、多途径、全方位地探索、挖掘、引申、变化，则可得到一系列妙题来。

我们在做几何题的过程中，有时会发现一些有趣的现象。有些题看起来不一样，但实际上它们的证法相同。几何题虽千变万化，无统一解法，但我们平时多留心，仔细观察研究，分析总结，也可以得出规律。这样就可以提高解题能力和速度。

例 2 已知：如图，等边三角形 ABC 中，E 为 BC 上的任一点，过 E 点作∠ AEF=60°与∠ACB 的外角平分线交于 F。

求证：AE=EF.

例已 BG=BE，∠AGE=120°=∠ECF，∠1=60°-∠3=∠2，此思路行得通。原题可以变为正方形，证法思路相似。

例 3 九义教科书 P247B 组第 3 题。已知：如图，∠BAC=90°，AD⊥BC、DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为 D、E、F。

求证：AB³/AC³=BE/CF.

（提示：（AC²/AB²）²=（BD/CD）²）

思考：在初中几何题证明时，多用直接证法——综合法与分析法。由本题△ABC 是直角三角形，AD⊥BC、DE⊥AB、DF⊥AC，这个“因”出发，从而推出其“果”为综合法。本题在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易证得

△ABC∽△CBA ，AB/CB=BD/BA，推出 AB²=BD·BC ，同理 AC²=CD· BC，故AB²/AC²=BD/CD，（AB²/AC² ）2=（BD/CD）² ，再由 BD²=BE·AB，CD²=CF·AC

可得结论。本题还可用“平行线截得成比例线段”定理推出 CF=DF·AC/AB， BE=DE·AB/AC，两式相除，再证△ABD∽△CAD，由此思路也能证得结论。本题条件不变，还可用三角形相似及三角形面积定理证明：AD³=BC·BE·CF. 本题还可变形为：AEDF 是圆内接矩形，AE、AF 的延长线分别交过点 D 的切线于 B、C 两点。

求证：BE/CF=AB³/AC³.

思考：由 AEDF 是圆内接矩形得 DF∥AB，推出 DF/AB=CF/AC， CF=DF·AC/AB，同理 BE=DE·AB/AC，两式相除，得 BE/CF=（AB²·DE）/

（AC²·DF），易证得△ABD∽△CAD，根据相似三角形对应高的比等于对应边 的比，得 DE/DF=AB/AC，此思路行得通。两题虽异，但探求思路相同。

通过上述几道几何题及其推广的重要应用，我们能够认识到，解题时必须注意总结经验，找出规律，以不变的规律去适应万变的问题。这样，我们

就能找到分析问题和解决问题的“金钥匙”。