二、培养学生解题能力的基本途径

（一）培养学生认真审题的习惯，提高审题能力

数学问题一般含有已知条件和要解决的问题两个部分。审题就是要求学生对条件和问题进行全面认识，分清题目中哪些是已知的，哪些是未知的； 它们之间有什么联系；弄清问题中涉及的所有概念术语和符号的真实含义； 在已学的知识中，哪些理论与要解决的问题有关等等。

对于较复杂的综合题，要帮助学生认清题目的类形。有些问题，往往需要对条件或所求进行转换，转换为简单易解或有典型解法的问题。如果题中给的条件不明显，就要引导学生去发现隐含条件。因此提高学生的审题能力， 主要是指提高学生分析问题、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。

例1：在实数范围内解方程：|x - 2|+ = 3．

由于方程中含有绝对值和算术根的符号，因此题中实际已隐含条件：

1 - x≥0，即x≤1．于是解原方程就转化为解新的方程：2 - x + = 3．

例 2：已知△ABC，求一点 P，使得△PAB、△PBC、△PCA 的面积相等。对这个题，学生会不自觉地增加条件，即只在△ABC 的内部去找点 P，这

时只能求得唯一的点 P，即△ABC 的重心。然而原题中并没有“P 点在△ABC 内”这个限制条件，而是学生自己添加的，改变了原题的题意。按原题条件， 在平面上 P 点的位置共有 4 个，除△ABC 的重心外，还有能与 A、B、C 构成平行四边形顶点的三个点。

产生上述错误的原因是审题不严造成的，所以培养学生认真审题的习惯是提高其解题能力的基础。

（二）引导学生分析解题思路，发现解题规律，寻求解题途径

数学问题中已知条件和要解决的问题之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系，解数学题的过程，就是灵活运用所学知识，通过周密思考去揭示这种联系的过程。寻求解题途径的方法有分析法、综合法或将两种方法结合使用。

例 3：在△ABC 中，AB=AC（定长），过 A 任作一直线交 BC 于 P，交外接圆 O 于 Q，

求证：AP·AQ 为定值.（图 a）

二、培养学生解题能力的基本途径 - 图1

分析：本题是定值问题，它的结论尚欠具体明确。因此，弄清定值的数量，常常可以打开思路。为此，可以考察命题的特殊情形，即可使 AQ 为⊙O 的直径（图 b）。注意到 AB=AC，则 AQ⊥BC。连结 BQ，由于直径上的圆周角是直角，则∠ABQ=90°，从而在 RT△ABQ 中，据射影定理得 AP·AQ=AB2，这就说明题中的定值就是 AB2，于是原命题就可以转化为下列命题：

在△ABC 中， AB=AC，过 A 任作一直线交 BC 于 P，交外接圆 O 于 Q，求证：AP·AQ=AB2.

经过分析，明确了证题方向，关键在于连结 BQ，证明

△ABP∽△AQB 。 例 4：已知 abc=1.

a

证明 ab + a + 1 +

b

bc + b + 1 +

c

ac + c + 1

= 1．

先引导学生观察三个相加分式的分母，再联想已知条件 abc=1，如果将 ab+a+1中的 1 用已知条件 abc 代替，那么 abc+ab+a 有因式 bc+b+1，这个因式恰好

等于第二个分式的分母；要想使第三个分式的分母也

1

有因式bc + b + 1，必须用 b 来代替ab，于是，

a

ab + a + 1 +

b

bc + b + 1 +

c

ac + c + 1

= a +

b + c

ab + a + abc

bc + b + 1 1 + c + 1

b

= a + b + bc = bc + b + 1 = 1．

a(bc + b + 1) bc + b + 1 bc + b + 1 bc + b + 1

这样，在解题过程中，引导学生分析解题思路，寻求解题途径是提高学生解题能力的主要途径。

（三）培养学生解题后进行反思的习惯

解题教学的目的并不单纯是为了求得问题的结果。真正的目的是为了提高学生的解题能力，培养学生的创造精神。而这一教学目的主要是通过回顾解题的过程来实现的。因此，有经验的教师在与学生一起分析解题的结果和方法时，总要对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括总结，并将它们用到新的问题中去。回顾解题，包括检验解答，讨论解法和推广结果三个方面。

  1. 检验结果是否正确时，应让学生掌握多种检验方法，例如，对计算题可以用逆运算进行检验，可用不同计算公式重新求解。可以改变计算顺序去求解等等。还应检验结果是否符合条件。

  2. 检验推理是否有据，可以培养学生良好的科学态度，树立严谨的思想作风。学生常犯的毛病是，检验时，只检验答案，而不检验每步推理是否有据。

例如：求 k 为何值时，方程 x2+Kx+1=0 与方程 x2+x+K=0 有公共实根？

a 2 + Ka + 1 = 0 （1）

解：设公共实根为a，据题意得 2

(1) − (2)

a + a + K = 0（2）

得 Ka-a+1-K=0，即（K-1）（a-1）=0，∴a-1=0，即 a=1.将 a=1 代入（2）解得 K=-2.

此题解法过程隐含着逻辑性错误，事实上，从（K-1）（a-1）=0，应解得 k=1 或 a=1.当 K=1 时原两方程相同且无实根，应舍去。故原解题结果对， 但过程不全，这是解题中的原则性错误。这时，仅检验答案正确是不够的， 还须检验推导过程的正确性。

  1. 检验答案是否详尽无遗，就是要对问题的所有情形作全面的分析研究。如前面的例 2，如果只找到一个解，那么答案就不完整了，通过检验应该把另外三个解补上。

在回顾探索中认真完成以上各方面的工作，将有利于积累经验，开拓思路，增强思维的灵活性，发展和提高解题能力。