四、证线段和、差、积、幂

四、证线段和、差、积、幂 - 图1

例 6 设半圆的直径为 AB，过 A、B 的弦 AC，BD 相交于 E，如图⑥，则AB²=AE·AC+BE·BD.

证明：连结 BC，则∠ACB=90°，由勾股定理有 AB²=AC²+BC²，BC²=BE²-EC²，由相交弦定理 AE · EC=BE · ED ，∴ AB²= （ AE+EC ） ²+ （ BE²-EC² ）

=AE²+2AE · EC+BE²=AE²+AE · EC+BE · ED+BE²=AE （ AE+AE ） +BE （ BE+ED ）

=AE·AC+BE·BD。

四、证线段和、差、积、幂 - 图2 例 7 已知：AB 为圆 O 直径，直线 DE 切圆 O 于 D，点 C 在 AB 上，CE⊥DE 于 E，如图⑦，求证：AC·CE+CD²=AB·CE。

探索：延长 DC 交圆于 F，由相交弦定理知，AC·CB=DC·CF，两边同加上 CD²，从而有 AC·CB+CD²=CD·CF+CD²=CD·（CF+CD）= CD·DF，

AB DF

因此只需证：AB·CE = CD·DF，即 CD = CE ，这可引直径DG来替代AB，

连结GF，只要证Rt△CED∽Rt△DFG，∴ DG = DF ，故有 AB = DF ，于是

命题得证，（略）

CD CE