抓住连结点 化难为易

福建省厦门杏林区上余中学 万兆云

幂函数、指数函数、对数函数，这是高一代数中继函数的概念后紧接着学习的几个具体函数。在分别讲授每一个函数时，为了搞清知识的来龙去脉， 都是结合它们各自的图像来研究它们的性质的。由于充分发挥了表、象的中介作用来引导学生进行分析综合，故单独地看，学生对初学的内容很快就掌握了。可是当这几个函数混杂在一起，尤其是将它们的性质用在比较大小上， 问题就出来了。我们知道，感知对象与背景差别愈大，感知就愈清晰；反之则愈模糊。当几对幂的值需要比较大小时，那要用幂函数的性质还是用指数函数的性质呢？而幂函数的性质又由指数 n＞0 或 n＜0 决定的，指数函数的性质是由底数 a＞1 或 0＜a＜1 分成截然不同的两种，要用哪一种，必须一一斟酌。在这多重的判断中，学生往往会顾此失彼，一不留意就出了错。那么， 如何在对知识理解并融会贯通的基础上把握总体的格局，提纲挈领地把所学的知识串连起来，并用通俗的方法进行记忆，这就需要对知识进行全方位地鉴别、比较及澄清，由表及里，去粗取精，抽出其本质的关系，找出简便易记的方法。这是从特殊到一般的归纳与概括。今天我所阐述的，就是在理解幂函数、指数函数其本质属性的基础上，把在这几个函数中讨论的相同问题

——比较大小放在一起鉴别、比较，与学生认识结构中已有的知识与经验建立起实质性的联系，从而使学生学得更快，记得更牢。

先看幂函数。

形如 y=xn 的函数是幂函数，其中底数 x 是自变量而指数 n 是常量。这个式子中连同函数值共有三个量。其性质由指数 n 的正负来确定。比较大小用的是第二条性质，即 y=xn，当 n＞0 是增函数；当 n＜0 是减函数。现在我们先来看课本是怎么处理的。

3 3

例1 比较1.55 和1.75 的大小。

3

解 考察函数y = x 5 在第一象限y的值随着x的增大而增大。

∵1.5＜1.7，

3 3

∴1.55 ＜1.7 5

针对这个问题，我们可回想一下初一学过的两个有理数相乘的符号法则：同号得正，异号得负；又从有理数比较大小中知道，正数都大于零，负数都小于零。故两数相乘的符号法则可叙述成：同号大于零，异号小于零。这就将学生熟悉的两数相乘的符号法则纳入不等式的问题中来。有了这个准备工作，我们就可采用这个符号法则来比较幂函数的大小问题了。当然，必须得紧紧抓住函数的指数 n。

3 3

例1 比较1.55 和1.7 5 的大小。

解∵n = 3 ＞0

5

1.5＜1.7.

3

这里有两个不等式 5 ＞0与1.5＜1.7，其中一个是“＞”号，一个是

“＜”号，即异号。再将两数相乘的符号法则：同号大于零，异号小于零稍微改动一下，去掉最后的零，叙述成：同号大于，异号小于。由异号小于， 于是得到

3 3

∴1.55 ＜1.7 5 。

当然，这里的“同号、异号”指的是指数 n 与零及底数与底数的大小比较同是大于号或同是小于号，还是一个大于号，一个小于号；“大于、小于” 指的是不改变底数前后位置的情况下两个幂函数值的大小关系。这样比较两个幂函数值的大小问题就与两数相乘的符号法则建立起实质性的联系，使得新知识与学生原有的知识挂上钩，将新知识纳入学生原有的知识结构而达到了新旧知识的同化。通过这种转化，学生应用起来相当得心应手，尤其是对付填空题。现我们不妨再以 n＜0 的情况验证一下是否一致。

例 2 比较 0.15-1.2 和 0.17-1.2 的大小。课本上是这样处理的：

解 考察幂函数 y=x-1.2 在第一象限内 y 的值随 x 的增大而减小。

∵0.15＜0.17

∴0.15-1.2＞0.17-1.2。

现按刚才所述方法处理： 解 ∵n=-1.2＜0， 0.15＜0.17，

此时不等号相同，由同号大于，

∴0.15-1.2＞0.17-1.2，

结论是一致的，书写也简便，而且从过程也可体现出幂函数 y=x-1.2 在第一象限是减函数。

当然比较起来，幂函数的性质还是易记的，但指数函数的性质相对来说， 就会复杂些。那么刚才所叙述的比较大小的方法，是否也可以用在指数函数的比较大小上？下面不妨也来验证一下。

函数 y=ax 叫做指数函数，其中底数 a＞0 且 a≠1 是常量，指数 x 是变量， 连同函数值也有三个量。我们知道，指数函数的性质是由底数 a 决定的，分为 a＞1 与 0＜a＜1 两种。先看下例：

例 3 比较下列各组中两个值的大小。

1 1

1）32 、33 ；

2）0.8-0.1、0.8-0.2 .

课本是这样处理的

解 1）根据y = a x（a＞1）是增函数。

1 1

∵ 2 ＞ 3 ，

1 1

∴32 ＞32 .

2）根据 y=ax（0＜a＜1）是减函数。

∵-0.1＞-0.2，

∴0.8-0.1＜0.8-0.2 .

现我们用刚讨论的方法来处理解 1）∵a=3＞1，

1 1

2 ＞ 3 ，

由同号大于

1 1

∴32 ＞33 ．

2）∵0＜a=0.8＜1，

-0.1＞-0.2，

由异号小于

∴0.8-0.1＜0.8-0.2.

与课本结论一致，且同样能体现出当 a＞1 及 0＜a＜1 时指数函数的增减性。当然，这里所言“同号大于、异号小于”中的“同号、异号”指的是 a 与 1 之间及指数与指数之间的不等号是相同还是不同；“大于、小于”则指的是在不改变指数所处前后位置的情况下各自对应的两个函数值的大小关系。至于底数 a＞1 及 0＜a＜1 这种写法根据课本约定，不等号不可随意变向，否则， 我们的讨论就失去了依据。

由于同底的对数函数与指数函数互为反函数，它们的增减性是一致的， 这样同底的对数比较大小也同样可以用上述方法处理。

例 4 比较下列各组中两个对数的大小。1）log23，log23.5； 2）log0.71.6，log0.71.8.

解 1）∵a=2＞1，3＜3.5， 由异号小于

∴log23＜log23.5。

而 y=logax 当 a＞1 时是增函数，结论正确。2）∵0＜a=0.7＜1，1.6＜1.8.

由同号大于，

∴log0.71.6＜log0.71.8。

而 y=logax 当 0＜a＜1 时是减函数，结论正确。

因此，这三种函数比较大小的问题，只要先判断应用什么函数的性质处理，尤其是都以幂的形式出现的两个数比较大小。如果是指数相同而底数不同的两个数，那就用幂函数的性质，抓住相同的指数 n＞0 还是 n＜0，再考虑两个不同底数之间的不等号是否一致，最后判断相应函数值的大小；如果是指数不同而底数相同的两个数就用指数函数的性质，抓住相同的底数 a＞1 还是 0＜a＜1，再考虑两个不同指数之间的不等号与 a 和 1 之间的不等号是否一致，然后再来判断相应函数值的大小。应当注意的是：如果同是小于号， 那么由“同号大于”，得到的也是大于号，这与符号法则中的“负负得正” 有异曲同工之外。相对的，这种方法与课本中所使用的方法比较，由于与学生原有的认知结构建立起联系，记忆也就容易得多。

现在我们以六对比较大小的情况综合应用如下。例 5 比较下列各组中两个数的大小

− 1 − 1

1）1.9

6 与1.91 6 ；

2）0.15.1 与0.15.2 ；

1 1

3）1.79 3 与1.813 ；

5）log0.5 6和log 0.54；

4）0.75-0.1 与0.75-0.1；

6）log 2 0.5和log 2 0.6。

3 3

− 1 − 1 1

解 1）1.9 6 与1.91 6 这两个数的幂指数都是 − 6 ，而底数不一样，可

1

应用指数是常量，底数是变量的幂函数y = x / n的性质。此时n = − 6 ，

∵n = − 1 ＜0，

6

1.9＜1.91，

由同号（同是小于号）大于，

∴1.91

− 1 −1

6 ＜1.9 6 ，

2）0.15.1 与 0.15.2 这两个数的幂指数不同而底数相同，可应用指数是变量，底数是常量的指数函数 y=ax 的性质。此时 a=0.1，

∵0＜0.1＜1， 5.1＜5.2， 由同号大于，

∴0.15.1＞0.15.2 .

1 1 1

3）1.79 3 与1.813 这两个数的幂指数都是 3 而底数不同，可应用幂函数

y = x n的性质。此时n = 1

3

1

∵ 3 ＞0，

1.79＜1.81，

由异号小于，

1 1

∴1.79 3 ＜1.813 。

4）0.75-0.1 与 0.750.1 这两个数的指数不同而底数相同，可应用指数函数 y=ax 的性质。此时 a=0.75

∵0＜0.75＜1， -0.1＜0.1， 由同号大于，

∴0.75-0.1＞0.75-0.1 .

5）log0.56 和 log0.54 这两个数的底数相同，真数不同， 由对数函数 y=logax（a＞0， a≠1）的性质。此时 a=0.5

∵0＜0.5＜1， 6＞4， 由异号小于，

∴log0.56＜log0.54.

2

6）同 5）， a = 3

∵0 2 1，

＜ 3 ＜

0.5＜0.6，

由同号大于，

∴log 2 0.5＞log 2 0.6.

3 3

倘若遇到幂函数的底数是负数的问题，那我们可以先根据其奇偶性将它们进行转化，使得其底数变成正数，再用上述方法比较。

苏霍姆斯基说：“在我看来，教给学生能借助已有的知识去获得新知识， 就是最好的教学技巧之所在。”在新旧知识（如该篇的比较大小与符号法则） 中，只要抓住知识的连接点（本篇中是正数大于零、负数小于零），运用新旧知识的同化规律（同号大于，异号小于），合理安排，即可达到新的认知平衡，形成新的、层次更为丰富的认知结构。