一、口诀内容

遇等积，改等比，横找竖找定相似。不相似，别生气，等线等比来代替。遇等比，改等积，引用射影和圆幂。平行线，转比例，两端各自找联系。二、应用举例（都是中考试题）

例 1 已知：如图 1，△ABC 为圆内接三角形，FE 是圆的切线，A 是切点， AD 是∠BAC 的平分线，CE∥AD。求证：AB·AE=AC·BD。

证明：“遇等积，改等化”，需证： AB = BD ，“横找竖找定相似”，

AC AE

横向找到：△ABD 和△CAE，由∠1=∠2=∠3，∠B=∠EAC，

可得△ABD∽△CAE，所以 AB = BD ，

AC AE

即：AB·AE=AC·BD。

例 2 如图 2：圆的直径 AB 垂直于弦 CD，弦 AE、CD 的延长线相交于点 F， 求证：AC·CF=AF·CE。

分析：“遇等积，改等比”，需证： AC = CE ，“横找竖找定相似”,

AF CF

横找得△ACE 和△ACF，竖找得△ACF 和△CEF 都不相似。“不相似，

气，等线、等比来代替”，连结AD，改证： AD = CE 。再“横找竖找定

AF CF

相似”。竖找△ADF和△CEF。∵∠F = ∠F，∠DAF = ∠ECF，∴△ADF

∽△CEF， AD = CE ，而AD = AC，∴ AC = CE 。

AF CF AF CF

例 3 已知：如图 3，锐角三角形 ABC，以 BC 为直径的圆 O 与 AB 交于 G， AD 与圆。切于 D，在 AB 上取 AE=AD，作 EF⊥AB，EF 与 AC 的延长线交于 F，

求证： AE

AB

= AC

AF

分析：横向找，难证相似；竖向找，都是直线。“不

AC

相似，别生气，等线等比来代替”。看右端 AF

= ？连结CG，可得CG∥

EF，于是右端 AC = AG ，故需证 AD = AG （遇等比，改等积，引用身影

AF AE AB AD

和圆幂），故需证 AD²=AG·AB，又∵AD 是切线，故可见。

例 4：已知圆 O 的弦 AB 的延长线和切线 EP 交于点 P，E 为切点，C 是

PE ² ED

AE的中点，PC交BE于D，求证： PB2 = DB ．

分析：如图 4，PE 是圆 O 切线，“引用射影和圆幂”得 PE²=PA·PB，

PE²

PA·PB PA

PA ED

∴ PB2 =

PB²

= PB ，于是需证： PB = DB ，前三句口诀都用不上，

用第四句口诀“平行线，转比例，两端各自找联系”，过B点作BG∥AE

交PC于G，则有 PA = AC 和 ED = CE ，因为AC = CE，所以 ED = PA ，

PB BG

PE² ED

DB BG

DB PB

所以 PB2 = DB ．

以上是通过十几年的教育教学总结出来的一个方面，并且通过几年来的中考尝试，效果很好，值得推广，不过因个人水平有限，不足之外请多指教。