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移除书签课后习题处理教学体会
山东省烟台市福山区第一中学 王倩
讲课时要做到知识讲透、重点突出、思路清晰、深入浅出，而课后的习题处理是巩固加深所学知识优化后继续课的一种手段，本人就此来谈淡一次课后习题处理的教学体会。
如高一代数 208 页 1 求下列各式的值：
（1）cos20°cos40°cos80°；（2）sin20°sin40°sin80°；（3）tg10
°tg50°tg70°
教师：首先分析（1）20°，40°，80°都不是特殊角，本题要求值，就只有设法消去这些角的三角函数才行，显然可以
从二倍角公式入手，也可以从积化和差入手。甲同学写出做法：
解：原式 = 2 sin20° cos20° cos40° cos80°
2 sin20°
= sin40° cos40° cos80°
2 sin20°
= sin80° cos80°
4 sin 20°
= sin160°
8 sin20°
= sin 20° 8 sin20°
= 1 (主要用二倍角公式)
8
乙同学写出做法：
解：原式 = 1 （cos60° + cos20°）cos80° 2
1 1
= 4 cos80° + 2 cos20°cos80°
1 1
= 4 cos80° + 4 （cos100° + cos60°）
1 1 1
= 4 cos80° - 4 cos80° + 4 cos60°
= 1 · 1
4 2
1
= 8 （主要用积化和差）
丙同学写出做法：
解：原式 = cos20 1 cos120°cos40°）
°· 2 （
1 1
= 2 cos20°（cos40° - 2 ）
1 1
= 2 [cos20°cos40° - 2 cos20°]
1 1
= 2 [ 2
1
1
（cos60° + cos20°） - 2 20°]
= 4 cos60°
1
= 8 （与同学乙方法相同，只是先从后两个因式开始计算）
以上几种方法是直觉思维法，是一般同学所能掌握的，看到此题脑子里马上反映出与此相类似的公式。
然后教师提出这种类型题可归纳出一类特殊的三角函数乘积的公式，比上述方法都简便，回忆一下三倍角公式。
sin3α=3sinα-4sin3α（变形化成积的形式）
= sin3α（3 - 4sin2α） = sinα（3 - 4 1 - cos2α ）
2
=sinα（1+2cos2α）
=2sinα（cos60°+cos2α）（和差化积）
=4sinαcos（30°+α）cos（30°-α）（化同名）
=4sinαsin（60°+α）sin（60°+α）（两边同除 4）
即 1 sin3α = sinαsin（60° - α）sin（60° + α）
4
为三倍角公式的变形公式
同理有： 1 cos3α = cosαcos（60° - α）cos（60° + α）
4
tg3α=tgαtg（60°-α）tg（60°+α）
这组公式中以α为基础角，其它两角和、差分别为 60°+α、60°-α， 只要是三项同名乘积（或诱导公式化成同名）满足此条件可直接使用公式计
1
算。注：正、余弦三角函数前系数是 4 ，正切是1。
现在再来看（1）20°是基础角，40°=60°-20°，80°=60°+20°，
则（1）式 1 （3×20°） 1 ° = 1
= 4 cos = 4 cos60 8
练习（2）式 1
1 · 3 = 3
= 4 sin60 = 4 2 8
3
（3）式 = tg（3×10°） = tg30° = 3
此时学生很兴奋，觉得这组公式妙及了，实际上在教课
书中虽没介绍，但只要教师课下认真推敲，也能归结出（1988 年 4 期《数学通讯》上介绍过），这样处理此题可使学生重视
三角公式的变形公式及逆公式的用法，从而灵活掌握运并用公式。继而给出三个以上三角函数乘积的问题。
练习，求下列各式的值：
（1）sin60°cos24°sin78°cos48°（=1/16）
（2）cos6°cos42°cos66°cos78°（=1/16）
（3）ctg20°ctg40°ctg60°ctg80°（=1/3）
（4）sin10°cos20°sin30°cos40°sin50°cos60°sin70°sin90°
（=1/256）
教师小结，此公式在理解推导的过程中记住（正、余弦
三倍角前系数是 1/4，正切是 1）。一个题目可能有多种解法，要善于从中筛选最佳解题方法，提高解题效率，要善于探讨
习题变形后的结构，以便于已掌握的知识发生广泛联系。此类型虽很简单，但它可使学生注意到三角公式的变形
及逆公式的使用。做题不满足一种解法，可使学生养成精思、巧思、捷思的良好习惯，能使自己的思维更加流畅，解题思 路更加宽广，从而可调动学生的积极性。这次联考，其中有 一道此类型题，我班 98％的学生都这样做的，既准确又迅速。
