五、求值

例 8 在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，P 为 AD 中点，BP 的延长线交 AC 于 E，EF⊥BC 于 F，若 AE=3，EC=12，如图⑧，求：EF 的长。

解：延长 BA，FE 相交于 G，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，∴

AP = BP ， PD = PB ，∴ AP

= PD ，∵AP = PD，∴GE = EF，∵∠CAG

GE BE

EF BE

GE EF

=∠CFG=90°，故 A、F、C、G、四点共圆，由相交弦定理 EG·EF=AE·EC，即EF²=AE·EC，∴EF²=3×12=36，∴EF=6（取正值）