六、证角的倍分

例 9 已知△ABC，∠A，∠B，∠C 的对边为 a，b，c，并且满足 b²-a²=a·c， 求证：∠B=2∠A。

分析：由已知条件变形为（b+a）·（b-a）=a·c，联想到相交弦定理， 故以 C 为圆心，b 的长为半径作圆，延长 AB 交圆于 F，延长 BC 交圆于 D，E， 连结 CF，如图⑨，设 CF 的中垂线交 AF 于 B，则 BF=a，AB=c，根据相交弦定理有 BD·BE=AB·BF，于是有△ABC 满足条件 b²-a²=ac.

证明：由作图知，BC=BF=a，∴∠BCF=∠BFC=∠A，而∠ABC=∠BCF+∠F=2

∠F，即，∠ABC=2∠A。