和小学数学教师谈解应用题的方法

一、观察法

在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。

观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。

*例 1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过 20 以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列， 以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字 18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。

解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行 10+6+

□=18 会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入 2（图 1-2）。从竖右列 7+2+□=18（图 1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方

格中应填入 9（图 1-3）。

从正方形对角线上的 9+6+□=18（图 1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入 3（图 1-4）。

从正方形对角线上的 7+6+□=18（图 1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入 5（图 1-4）。

从横上行 3+□+7=18（图 1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入 8（图 1-5）。

又从横下行 5+□+9=18（图 1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入 4（图 1-5）。

图 1-5 是填完数字后的幻方。

例 2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）

6、16、26、 、 、 、 。

9、18、27、 、 、 、 。

80、73、66、 、 、 、 。

解：观察 6、16、26 这三个数可发现，6、16、26 的排列规律是：16 比6 大 10，26 比 16 大 10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。

观察 9、18、27 这三个数可发现，9、18、27 的排列规律是：18 比 9 大9，27 比 18 大 9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。

观察 80、73、66 这三个数可发现，80、73、66 的排列规律是：73 比 80 小 7，66 比 73 小 7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。

这样可得到本题的答案是：

6、16、26、36、46、56、66。

9、18、27、36、45、54、63。

80、73、66、59、52、45、38。

例 3 将 1～9 这九个数字填入图 1-6 的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）

解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。

所以，在左下角的那个方框中应填 9，在它右邻的方框中应填 2，在 2 右面的方框中填 3，在 3 上面的方框中填 4，以后依次填 5、6、7、8。

图 1-7 是填完数字的图形。

例 4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）

解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”

我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？

1. 从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图 1-8）。

2. 从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。

3. 从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图 1-10）。

例 5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）

解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。

甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。

这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是 111 和 888，只可能是 666 或 999。

如果这个数是 666，当其中一个人看到的是 666 时，另一个人看到的一定是 999，999-666=333，333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666，也可以是 999。

*例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）

解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。

如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是 1966，第二个数比它大 10， 第三个数比它大 20，第四个数比它大 30，第五个数比它大 40。因此，这道题可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966×5+10×（1+2+3+4）

=9830+100

=9930

这五个数还有另一个特点：中间的数是 1986，第一个数 1966 比中间的数 1986 小 20，最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20，1966 和 2006 这两个数的平均数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样，中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1986×5

=9930

例 7 你能从 400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16 中得到

启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5） 7250÷25 的得数吗？（适于四年级程度）

解 ： 我 们 仔 细 观 察 一 下 算 式 ： 400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不难看出，原来的被除数和除数都乘以 4，目的是将除数变成 1 后面带有 0 的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。

=（7250×4）÷（25×4）

=29000÷100

=290

*例 8 把 1～1000 的数字如图 1-11 那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是 87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是 837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）

解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大 1，第三个数比第一个数大 2，第四个数比第一个数大 7，第五个数比第一个数大 8，第六个数比第一个数大 9。

假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：

（87-1-2-7-8-9）÷6

＝60÷6

=10

求出第一个数是 10，往下的各数也就不难求了。

因为用同样的方法框出的六个数之和是 837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大 1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：

（837-1-2-7-8-9）÷6

＝810÷6

=135

第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137 第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143 第六个数是：135+9=144 答略。

（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是 7；②方框中间坚行的 11 和 18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。

11=（10+11+12）÷3

18=（17+18+19）÷3

所以上横行与下横行两个中间数的和是：

87÷3＝29

由此可得，和是 837 的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：

837÷3＝279

因为上、下两个数之差是 7，所以假定上面的数是 x，则下面的数是 x+7。

x+（x+7）=279

2x+7=279

2x=279-7

=272 x=272÷2

=136 x+7=136+7

=143

因为上一横行中间的数是 136，所以，第一个数是：136-1=135 第三个数是：135+2=137

因为下一横行中间的数是 143，所以， 第四个数是：143-1=142

第六个数是：142+2=144 答略。

*例 9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）

解：（1）锯去一个顶点（图 1-12），因为正方体原来有 8 个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，

8-1+3=10

即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。

1. 如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是 8-1+2=9

（个）（图 1-13）。

1. 如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是 8-1+1=8

（个）（图 1-14）。

1. 如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是 8-1=7

（个）（图 1-15）。

例 10 将高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体（图 1-16），求这个物体的表面积 S。（适于六年级程度）解：我们知道，底面半径为γ，高为 h 的圆柱体的表面积是 2πγ²+2π

γh。

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。

如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图 1-17 那样。这三个圆的面积，就是底面半径

是 1.5 米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

（2π×1.5²+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）

=（4.5π+3π）+2π+π

=7.5π+3π

=10.5π

=10.5×3.14

=32.97（平方米） 答略。

*例 11 如图 1-18 所示，某铸件的横截面是扇形，半径是 15 厘米，圆心角是 72°，铸件长 20 厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）

解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性， 不可漏掉某一侧面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。

求表面积的方法 1：

两个扇形面积 + 两个长方形面积 + 圆柱侧面积×

3.14 × 15²

72

360

72

360

3.14 × 225

= 360

3.14 × 225

= 5

×72×2 + 20×15×2 + 15×2×3.14×20× 360

18

×72×2 + 300×2 + 30×3.14×20× 90

×2 + 600＋30×3.14×4

＝3.14×45×2+600+120×3.14

=3.14×90+3.14×120+600

=3.14×（90+120）+600

=659.4+600

=1259.4（平方厘米） 求表面积的方法 2：

（两个圆的面积 + 圆柱侧面积）×

72

360

+ 两个长方形的面积

72

（3.14×152×2 + 2×15×3.14×20）× 360 + 20×15×2

72

= 3.14×（225×2 + 30×20）× 360 + 40×15

= 3.14×（450 + 600）×

72

360

+ 600

= 3.14×1050×

72

360

+ 600

=3.14×210+600

=659.4+600

=1259.4（平方厘米） 铸件的体积：

3.14×152×20×

72

360

= 3.14×225×20× 1

5

=3.14×225×4

=3.14×900

=2826（立方厘米）

答略。