三十三、最小公倍数法

通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。

例 1 用长 36 厘米，宽 24 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）

解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是 36、24 的最小公倍数。

2×2×3×3×2=72

36、24 的最小公倍数是 72，即正方形的边长是 72 厘米。

72÷36=2

72÷24=3

2×3=6（块）

答：最少需要 6 块瓷砖。

*例 2 王光用长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）

解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是 6、4 和 3 的最小公倍数。

2×3×2=12

6、4 和 3 的最小公倍数是 12，即正方体模型的棱长是 12 厘米。正方体模型的体积为：

12×12×12=1728（立方厘米） 长方体木块的块数是：

1728÷（6×4×3）

=1728÷72

=24（块）

答略。

例 3 有一个不足 50 人的班级，每 12 人分为一组余 1 人，每 16 人分为

一组也余 1 人。这个班级有多少人？（适于六年级程度）

解：这个班的学生每 12 人分为一组余 1 人，每 16 人分为一组也余 1 人，

这说明这个班的人数比 12 与 16 的公倍数（50 以内）多 1 人。所以先求 12

与 16 的最小公倍数。

2×2×3×4=48

12 与 16 的最小公倍数是 48。

48+1=49（人）

49<50，正好符合题中全班不足 50 人的要求。

答：这个班有 49 人。

例 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔 8 分钟

发一次车；第二条线路每隔 10 分钟发一次车；第三条线路每隔 12 分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）

解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即 8、10、12 的最小公倍数。

2×2×2×5×3=120

答：至少经过 120 分钟又在同一时间发车。

例 5 有一筐鸡蛋，4 个 4 个地数余 2 个，5 个 5 个地数余 3 个，6 个 6

个地数余 4 个。这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度）

解：从题中的已知条件可以看出.不论是 4 个 4 个地数，还是 5 个 5 个地数、6 个 6 个地数，筐中的鸡蛋数都是只差 2 个就正好是能被 4、5、6 整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出 4、5、6 的最小公倍数后再减去 2，就得到鸡蛋的个数。

2×2×5×3=60

4、5、6 的最小公倍数是 60。

60-2=58（个） 答：这筐鸡蛋最少有 58 个。

*例 6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每 15

人有 3 个人得一等奖，每 8 人有 2 个人得二等奖，每 12 人有 4 个人得三等奖。

参加这次竞赛的共有 94 人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）

解：15、8 和 12 的最小公倍数是 120，参加这次竞赛的人数是 120 人。得一等奖的人数是：

3×（120÷15）=24（人） 得二等奖的人数是：

2×（120÷8）=30（人） 得三等奖的人数是：

4×（120÷12）=40（人）

答略。

*例 7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走 9 分钟亮一次灯。中午

12 点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度）

解：每到整点响一次铃，就是每到 60 分钟响一次铃。求间隔多长时间后，

电子钟既响铃又亮灯，就是求 60 与 9 的最小公倍数。

60 与 9 的最小公倍数是 180。

180÷60=3（小时）

由于是中午 12 点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午 3 点钟。

答略。

*例 8 一个植树小组原计划在 96 米长的一段土地上每隔 4 米栽一棵树，

并且已经挖好坑。后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）

解：这一段地全长 96 米，从一端每隔 4 米挖一个坑，一共要挖树坑：

96÷4+1=25（个）

后来，改为每隔 6 米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在 6 米一棵的坑

位上，可不重新挖。由于 4 和 6 的最小公倍数是 12，所以从第一个坑开始，

每隔 12 米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9（个）

96 米中有 8 个 12 米，有 8 个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，

一共有 9 个坑不必重新挖。答略。

例 9 一项工程，甲队单独做需要 18 天，乙队单独做需要 24 天。两队合

作 8 天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度） 解：由 18、24 的最小公倍数是 72，可把全工程分为 72 等份。

72÷18=4（份）⋯⋯⋯⋯是甲一天做的份数

72÷24=3（份）⋯⋯⋯⋯是乙一天做的份数

（4+3）×8=56 份）⋯⋯⋯两队 8 天合作的份数72-56=16（份）⋯⋯⋯⋯余下工程的份数

16÷4=4（天）⋯⋯⋯⋯⋯甲还要做的天数

答略。

*例 10 甲、乙两个码头之间的水路长 234 千米，某船从甲码头到乙码头

需要 9 小时，从乙码头返回甲码头需要 13 小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度）

解：9、13 的最小公倍数是 117，可以把两码头之间的水路 234 千米分成117 等份。

每一份是：

234÷117=2（千米）

静水中船的速度占总份数的：

（13+9）÷2=11（份） 船在静水中每小时行：

2×11=22（千米）

答略。

*例 11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时

3 千米，下山的速度为每小时 5 千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）

解：设山脚到山顶的距离为 3 与 5 的最小公倍数。

3×5=15（千米）

上山用： 下山用：

15÷3=5（小时）

15÷5=3（小时）

总距离÷总时间=平均速度

（15×2）÷（5+3）=3.75（千米） 答：他上、下山的平均速度是每小时 3.75 千米。

*例 12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每

小时做 50 个；第二道工序每个工人每小时做 30 个；第三道工序每个工人每

小时做 25 个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度）

解：50、30、25 三个数的最小公倍数是 150。第一道工序至少应分配：

150÷50=3（人）

第二道工序至少应分配：

150÷30=5（人）

第三道工序至少应分配：

150÷25=6（人）

答略。