三十、四方阵法

四方阵是著名教育家赵宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。 通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系，也可以找准分

数（百分数）题中的标准量、比较量和分率，从而明确题中数量间的关系， 很快解答出应用题。

画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则；四方阵图中，“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”是四方阵的性质；在计算时，x 斜对方位的数必当除数。

例1 光明玻璃厂十月份生产玻璃20000 份生产玻璃多少箱？（适于六年级程度）

解：设九月份生产玻璃 x 箱。

1

箱，比九月份多生产了 3 ，九月

1. 画一个大“十”字。在“十”字横线左端点外的上、下方位分别写上九月、十月（图 30-1）。

2. 在大“十”字中心点的左上方、左下方，横对九月、十月分别写上x、20000，并在它们中间的横线上写出 x 与 20000 的单位名称“箱”（图 30-2）。

（3 1

x箱就是

）题中说，十月份比九月份多生产了 3 ，九月份生产的

标准量1，把1与九月、x横对写在大“十”字中心点的右上方（图30

• 3）。

1

（4）题中说，十月份比九月份多生产了 3 ，十月份的产量是比较量，

1 1

与20000对应的分率是（1 + 3 ），把(1 + 3 ）与十月、20000横对，与1竖

对，竖着写在大“十”字中心点的右下方（图30

• 4）。

从摘录、整理完条件与问题的四方阵图 30-4 中，可清楚地看到 x 的对应

分数是1。20000的对应分数是（1 + 1 ），九月份生产的玻璃比十月份少，

3

十月份生产的玻璃是九月份的（1 + 1 ）倍。

3

1

阵中，九月、x、1这三者是同一回事，横对；十月、20000、（1 + 3 ）

这三者也是同一回事，也横对。x与20000 的单位名称相同，x与20000竖对；

分数1，（1+ 1 ）都没有单位名称，1与（1 + 1 ）竖对。

3 3

根据题中的数量关系，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。

（1 + 1 ）x = 20000

3

1

x = 2000÷（1 + 3 ）

x = 15000

答：九月份生产玻璃 15000 箱。

1

亩，今年的水田比去年增加 4 。今年有水田多

少亩？（适于六年级程度）

解：设今年有水田 x 亩。

按题意画出图 30-5 的四方阵图。

480亩与x亩的单位名称相同，480与x坚对，在它们中间的横线上写出它

1

们的单位名称——亩；1与（1+ 4 ）都没有单位名称，竖对。

480亩是去年的亩数，是标准量1，480与1横对；x亩是今年的亩数，

1

是x亩的对应分率，x与（1 + 4 ）横对。

1

(1 + 4)

根据题中的数量关系，再根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可得：

x = 480×（1 + 1 ）

4

答略。

5

x = 480× 4

x = 600

例3 志远中学买来35000 程度）

解：设还剩 x 块砖。

3

块砖，用去 5 ，还剩多少块砖？（适于六年级

根据题意，画出图 30-6 的四方阵图。

图 30-6 中 35000 块与 x 块的单位名称相同，所以 35000 与 x 竖对，在它

3 3

们中间的横线上写出它们的单位名称——块；1与(1- 5)竖对。把(1- 5)竖着写，

用[ ]括起来。

1与35000横对；

3 是x的对应分率， 3 与x横对。

(1- 5) (1- 5)

x = 35000×（1- 3 ） = 14000

5

答：还剩 14000 块砖。

例 4 前进造纸厂四月份用煤 540 吨，比三月份节约 20％。三月份用煤多少吨？（适于六年级程度）

解：设三月份用煤 x 吨。

根据题意，画出图 30-7 的四方阵图。

根据四方阵的性质“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”可得：

（1-200％）x=540

x=540÷（1-20％） x=540÷0.8

x=675

答略。

例 5 用“1059”农药和水配合成药水，可防治棉花害虫。农药和水的重量比是 1∶2000。要配制 2500 千克药水，需要“1059”多少千克？（精确到

0.01 千克）（适于六年级程度） 解：设需要农药 x 千克。

根据题意画出图 30-8 的四方阵图。

阵中 1 与 2000 坚对，1 与 x 横对；要配制 2500 千克药水，农药占 x 千克，水的重量是（2500-x）千克。x 与（2500-x）坚对。

根据四方阵“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”的性质得：

2000x=2500-x

2001x=2500

答略。

x=2500÷2001

x≈1.24

2 2 1

例6 某农场在自己全部土地的 5 上种了高粱， 7 上种了大豆， 4 上种了

玉米；又在25公顷地里种了棉花，在2公顷地里种了绿豆。这个农场共有多

少公顷土地？（适于六年级程度）

解：设这个农场共有 x 公顷土地。根据题意画出图 30-9 的四方阵图。

图30 - 9中（25 + 2）的对应分率是（1 - 2 -

5

2 - 1 ）

7 4

根据四方阵“交叉相乘，两积相等”的性质，可得：

2

（1 - 5

2

- 7 -

1

4 ）x = 25 + 2

2 x = （25 + 2）÷(1 - 5 -

2 1

7 - 4 )

答略。

x = 27÷

x = 420

9

140

例7 一座建筑物的地基长150米，宽30米，把它画在比例尺是设计图上，图上的长和宽各应是多少厘米？（适于六年级程度）

解：设图上的长是 x 厘米，宽是 y 厘米。

150 米=15000 厘米

30 米=3000 厘米根据题意画出四方阵图 30-10 和 30-11。

1

2000 的

根据四方阵的性质可得：

根据四方阵的性质可得：

2000x=15000

x=15000÷2000 x=7.5

2000y=3000

y=3000÷2000 y=1.5

答：图上的长是 7.5 厘米，宽是 1.5 厘米。

例 8 五年级学生去年种了 4800 棵蓖麻，平均每一棵收蓖麻子 0.15 千克。蓖麻子的出油率是 45％，这些蓖麻能出油多少千克？（适于六年级程度）

解：设共收蓖麻子 x 千克，出油 y 千克。根据题意画出四方阵图 30-12 和图 30-13。

根据四方阵的性质可得：

x=4800×0.15 x=720

根据四方阵的性质可得：

y=720×45％ y=324

答：能出油 324 千克。

例 9 某学校改制了一台饮水锅炉后，每天烧煤 25 千克，是原来每天用煤量的 25％。现在每月（按 30 天计算）比原来节煤多少千克？（适于六年级程度）

解：设现在每天节约煤 x 千克，一个月节煤 y 千克。根据题意画出四方阵图 30-14 和图 30-15。

根据四方阵的性质可得：

25％x=25×（1-25％） x=25×（1-25％）÷25％

根据四方阵的性质可得：

y = 30x

= 30× 25×（1 - 25％）

25％

= 30× 25×0.75

0.25

= 30×75

= 2250

答：现在每月比原来节煤 2250 千克。

例 10 同学们搞野营活动。一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老

师问他领多少，他说领 55 个。又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗， 两个人一个菜碗，三个人一个汤碗。”这个同学给多少人领碗？（适于六年级程度）

解：这道题，教师不容易讲清，学生也不容易理解。

按四方阵的格式摘录整理条件和问题，就容易列式解答了。设给 x 个人领碗。

画出四方阵图 30-16。

因为 x 个人领 55 个碗，所以 x 与 55 横对；因为 1 个人得到 1 个饭碗，

1 1 1 1

1. 个菜碗， 3 个汤碗，所以一个人得到（1 + 2 + 3 ）个碗，1与x坚对，与

（1

• 1 + 1 ）横对；（ 1 1 ）与55坚对。

2 3 1 + 2 + 3

根据阵中呈现的数量关系，也根据“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。

（ 1 1

答略。

1 + 2 + 3 ）x = 55

x = 55÷（1+ x = 30

1 1

2 + 3 ）

例 11 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经过 12 小时相

遇，相遇后快车又行了 8 小时到达乙站。求慢车还要行几小时才能到达甲站？

（适于六年级程度）

解：先用一般方法解。这道题很抽象，不少学生不能理解。

快车从甲站到乙站共行了12 + 8 = 20（小时），由此可知快车每小时行了1

全程的20 。两车相遇时，快车行了全程的：

慢车行了全程的：

1 ×12 = 3

20 5

3 2

慢车12

1 - 5 = 5

2

小时行了全程的 5 ，慢车每小时行：

2 ÷12 = 1

5 30

3

因为慢车从相遇到甲站的路程是全程的 5 ，所以慢车还要行的时间是：

3 1

5 ÷ 30

= 18（小时）

用四方阵法解。用这种方法解题很简单。设慢车还要行 x 小时才能到达甲站。

快车在相遇前行 12 小时，相遇后行 8 小时，慢车相遇前行 12 小时，相遇后行 x 小时。画出图 30-17 的四方阵后，就可根据四方阵的性质列出方程：

8x=12×12 x=12×12÷8

x=18（小时）

答略。

要注意的是，按四方阵的格式摘录、整理反比例应用题的条件和问题时， 要使阵中的“同事斜对”。

例 12 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 32 千米，5 小时到达，如

果要 4 小时到达，每小时行驶多少千米？（适于六年级程度） 解：设每小时行驶 x 千米。

按“同事横对，同名竖对”的摆阵规则，这道题应摆成图 30-18 的形式， 这样根据“交叉相乘，积相等”的性质，得：

5x = 32×4

x = 32×4

5

= 25.6（千米）

行驶的时间少了，速度增加才对，可这样速度却减少了，显然这样摆阵是错误的。

这道题是反比例应用题，正确的摆阵方式是图 30-19 的形式，即“同事斜对”。32 与 5 斜对，x 与 4 斜对。

根据题意，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，以及 x 的斜对方必当除数的规律，可得：

4x=32×5 x=32×5÷4

x=40（千米）

答略。

“交叉相乘积相等”是四方阵的重要性质，它帮助解题，帮助验算，还可以验证阵式摆得是否正确。例如，把上面各例题中算出的 x 的数值代入四方阵中，把四个方位的数交叉相乘，得到的两个积相等，说明摆阵、运算都正确；要是两个积不相等，或虽然相等但不合理，那就要认真查找出现问题的原因了。