三十一、分解质因数法

通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。

例 1 一块正方体木块，体积是 1331 立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）

解：把 1331 分解质因数：

1331=11×11×11

答：这块正方体木块的棱长是 11 厘米。

例 2 一个数的平方等于 324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把 324 分解质因数：

324= 2×2×3×3×3×3

=（2×3×3）×（2×3×3）

=18×18

答：这个数是 18。

例 3 相邻两个自然数的最小公倍数是 462，求这两个数。（适于六年级程度）

解：把 462 分解质因数：

462=2×3×7×11

=（3×7）×（2×11）

=21×22

答：这两个数是 21 和 22。

*例 4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D 代表不同的数字，

ABC 是一个三位数。求 ABC 代表什么数？（适于六年级程度）

解：因为 ABC×D=1673，ABC 是一个三位数，所以可把 1673 分解质因数， 然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC 所代表的数。

1673=239×7

答：ABC 代表 239。

例 5 一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地的周长是多少米？

（适于六年级程度）

解：先把 2304 分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）

=48×48

正方形的边长是 48 米。这块田地的周长是：

48×4=192（米）

答略。

*例 6 有 3250 个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下 10 个。已

知每一名小朋友分得的桔子数接近 40 个。求这个幼儿园有多少名小朋友？

（适于六年级程度）

解：3250-10=3240（个）

把 3240 分解质因数：

3240=23×34×5

接近 40 的数有 36、37、38、39

这些数中 36=22×32，所以只有 36 是 3240 的约数。

23×34×5÷（22×32）

=2×32×5

=90

答：这个幼儿园有 90 名小朋友。

*例 7 105 的约数共有几个？（适于六年级程度）

解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积⋯⋯逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

因为，105=3×5×7，

所以，含有一个质数的约数有 1、3、5、7 共 4 个；

含有两个质数的乘积的约数有 3×5、3×7、5×7 共 3 个； 含有三个质数的乘积的约数有 3×5×7 共 1 个。

所以，105 的约数共有 4+3+1=8 个。答略。

*例 8 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个数平均分成三组，

使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度） 解：将这九个数分别分解质因数：

15=3×5

22=2×11

30=2×3×5

35=5×7

39=3×13

44=2×2×11

52=2×2×13

77=7×11

91=7×13

观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个 2， 三个 3，三个 5，三个 7，三个 11，三个 13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个 2，一个 3，一个 5，一个 7，一个 11 和一个 13。

由以上观察分析可得这三组数分别是：

15、52 和 77；

22、30 和 91；

35、39 和 44。

答略。

*例 9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是 5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）

解：把 5040 分解质因数：

5040=2×2×2×2×3×3×5×7

由于四个学生的年龄一个比一个大 1 岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：

7，2×2×2，3×3，2×5

即四个学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁、10 岁。答略。

*例 10 在等式 35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162 的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）

解：将已知等式的两边分解质因数，得： 5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）

把上面的等式化简，得：

15×（ ）=4×（ ）

所以，在左边的括号内填 4，在右边的括号内填 15。

15×（4）=4×（15）

答略。

*例 11 把 84 名学生分成人数相等的小组（每组最少 2 人），一共有几种分法？（适于六年级程度）

解：把 84 分解质因数：

84=2×2×3×7

除 了 1 和 84 外 ，84 的 约 数 有 ： 2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，

2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28

（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组）， 84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。

因此每组 2 人分 42 组；每组 3 人分 28 组；每组 4 人分 21 组；每组 6

人分 14 组；每组 7 人分 12 组；每组 12 人分 7 组；每组 14 人分 6 组；每组

21 人分 4 组；每组 28 人分 3 组；每组 42 人分 2 组。一共有 10 种分法。答略。

*例 12 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 这八个数分成两组， 每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）

解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。

14=2×7 143=11×13

30=2×3×5 169=13×13

33=3×11 4445=5×7×127

75=3×5×5 4953=3×13×127

在上面的质因式中，质因数 2、7、11、127 各有 2 个，质因数 3、5、13 各有 4 个。

在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数 2、7、11、127 各有 1 个，质因数 3、5、13 各有 2 个。

按这个要求每一组四个数的积应是：

2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75

×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是 14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。

答略。

*例 13 一个长方形的面积是 315 平方厘米，长比宽多 6 厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）

解：设长方形的宽为 x 厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：

x（x+6）= 315 x（x+6）=3×3×5×7

=（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6）

x=15 x+6=21

答：这个长方形的长是 21 厘米，宽是 15 厘米。

*例 14 已知三个连续自然数的积为 210，求这三个自然数各是多少？（适

于五年级程度）

解：设这三个连续自然数分别是 x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：

（x-1）×x×（x+1）

=210

=21×10

=3×7×2×5

=5×6×7

比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：这三个连续自然数分别是 5、6、7。

*例 15 将 37 分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为 1440， 并且甲、乙两数的积比丙数的 3 倍多 12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）

解：把 1440 分解质因数：

1440= 12×12×10

=2×2×3×2×2×3×2×5

=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）

=8×9×20

如果甲、乙二数分别是 8、9，丙数是 20，则：

8×9=72，

20×3+12=72

正符合题中条件。

答：甲、乙、丙三个数分别是 8、9、20。

*例 16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以 1000 加上您儿子人数的平方乘以 10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）

解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：

33×1000+32×10=27090

把 27090 分解质因数：

27090=43×7×5×32×2

根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：

43×14×9×5

这个质因式中 14 就是 9 与 5 之和。

所以母亲 43 岁，大儿子 14 岁，二儿子 9 岁，小儿子 5 岁。

43-9=34（岁） 答：母亲在 34 岁时生下第二个儿子。