三十二、最大公约数法

通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。

例 1 甲班有 42 名学生，乙班有 48 名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）

解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出 42 和 48 的最大公约数：

2×3=6

42 和 48 的最大公约数是 6。

答：每个小组最多能有 6 名学生。

例 2 有一张长 150 厘米、宽 60 厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）

解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是 150 和 60 的最大公约数。

求出 150 和 60 的最大公约数：

2×3×5=30

150 和 60 的最大公约数是 30，即正方形的边长是 30 厘米。

看上面的短除式中，150、60 除以 2 之后，再除以 3、5，最后的商是 5

和 2。这说明，当正方形的边长是 30 厘米时，长方形的长 150 厘米中含有 5

个 30 厘米，宽 60 厘米中含有 2 个 30 厘米。所以，这个长方形能分割成正方形：

5×2=10（个） 答：能分割成 10 个正方形。

例 3 有一个长方体的方木，长是 3.25 米，宽是 1.75 米，厚是 0.75 米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）

解：3.25 米=325 厘米，1.75 米=175 厘米，0.75 米=75 厘米，此题实际是求 325、175 和 75 的最大公约数。

5×5=25

325、175 和 75 的最大公约数是 25，即小正方体木块的棱长是 25 厘米。因为 75、175、325 除以 5 得商 15、35、65，15、35、65 再除以 5，最

后的商是 3、7、13，而小正方体木块的棱长是 25 厘米，所以，在 75 厘米中

包含 3 个 25 厘米，在 175 厘米中包含 7 个 25 厘米，在 325 厘米中包含 13

个 25 厘米。

可以截成棱长是 25 厘米的小木块：

3×7×13=273（块）

答：小正方体木块的棱长是 25 厘米，可以截成这样大的正方体 273 块。

例 4 有三根绳子，第一根长 45 米，第二根长 60 米，第三根长 75 米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）

解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。

3×5=15

45、60 和 75 的最大公约数是 15，即每一小段绳子最长 15 米。

因为短除式中最后的商是 3、4、5，所以在把绳子截成 15 米这么长时， 45 米长的绳子可以截成 3 段，60 米长的绳子可以截成 4 段，75 米长的绳子

可以截成 5 段。所以有：

3+4+5=12（段）

答：每段最长 15 米，一共可以截成 12 段。

例 5 某校有男生 234 人，女生 146 人，把男、女生分别分成人数相等的

若干组后，男、女生各剩 3 人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）

解：因为男、女生各剩 3 人，所以进入各组的男、女生的人数分别是： 234-3=231（人）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯男

146-3=143（人）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯女

要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是 231

人和 143 人的最大公约数。

231、143 的最大公约数是 11，即每一组是 11 人。

因为 231、143 除以 11 时，商是 21 和 13，所以男生可以分为 21 组，女生可以分为 13 组。

21+13=34（组）

答：每一组应是 11 人，能分成 34 组。

例 6 把 330 个红玻璃球和 360 个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）

解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是 330 和 360 的最大公约数。

2×3×5=30

330 和 360 的最大公约数是 30，即每盒装 30 个球。

330÷30=11（盒）⋯⋯⋯⋯⋯红球装 11 盒

360÷30=12（盒）⋯⋯⋯⋯⋯绿球装 12 盒

11+12=23（盒）⋯⋯⋯⋯⋯共装 23 盒

答略。

例 7 一个数除 40 不足 2，除 68 也不足 2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）

解：“一个数除 40 不足 2，除 68 也不足 2”的意思是：40 被这个数除， 不能整除，要是在 40 之上加上 2，才能被这个数整除；68 被这个数除，也不能整除，要是在 68 之上加上 2，才能被这个数整除。

看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是 42 和 70 的公约数，而且是最大的公约数。

2×7=14

答：这个数最大是 14。

例 8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了

1.04 元，第二筐卖了 1.95 元，第三筐卖了 2.34 元。每 1 千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度）

解：三筐白菜的钱数分别是 104 分、195 分、234 分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。

把 104、195、234 分别分解质因数：

104=23×13

195=3×5×13

234=2×32×13

104、195、234 最大的公有的质因数是 13，所以 104、195、234 的最大公约数是 13，即每千克白菜的价钱是 0.13 元。

1.04÷0.13=8（千克）⋯⋯⋯第一筐

1.95÷0.13=15（千克）⋯⋯⋯第二筐

2.34÷0.13=18（千克）⋯⋯⋯第三筐

8+15+18=41（千克）

答：第一、二、三筐白菜的重量分别是 8 千克、15 千克、18 千克，李明一共卖了 41 千克白菜。

例 9 一个两位数除 472，余数是 17。这个两位数是多少？（适于六年级程度）

解：因为这个“两位数除 472，余数是 17”，所以，472-17=455，455 一定能被这个两位数整除。

455 的约数有 1、5、7、13、35、65、91 和 455，这些约数中 35、65 和

91 大于 17，并且是两位数，所以这个两位数可以是 35 或 65，也可以是 91。答略。

例 10 把图 32-1 的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）

解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是 42 厘米、24 厘米、18 厘米、36 厘米的最大公约数。

2×3=6

它们的最大公约数是 6，即焊点间距离为 6 厘米。焊点数为：

7+4+3+6=20（个）

按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从 20 个焊点中减 4 个焊点。

20-4=16（个）

答略。