三、运用数学方法，推导自由落体运动的数学表达式以及可以直 接测定的物理量间的函数关系

伽利略的数学构造是这样的：定义匀速运动，再从定义和几个公理出发，通过对运动概念的分析而得到某些附加的假定和在几何上得到证明的定理，再求出一些系定理和一些可以在实验中加以直接测量验证的物理量间的函数关系．

伽利略对匀速运动的定义是：我（伽利略）所说的稳定的或均匀的运动是指这样一种运动，在此运动中，一个运动质点在任何相等的时间间隔里所经过的距离本身也相等．在定义匀速运动的基础上，伽利略提出了第一定理，即平均速度定理：一个从静止开始的匀加速运动的物体经过任一空间所用的时间等于这个物体以下述均匀速率经过同一空间所需的时间：这个均匀速率值等于最高速率和加速刚开始前的速率的平均值．伽利略对这个定理的证明如下：如图，三角形 AEB 代表速度从 A 到 EB 的均匀

增长，AB 线上有相等的 8 段时间，在 AB 线上各个相等间隔所画出的各段逐渐变长的平行线，代表 AB 线上标示的各段相等的时间间隔所增加的速度．F 是 EB 线上的中点，从 F 点作 EB 线的垂线得到矩形 ABFG，这个矩形表示匀速运动，FB 代表匀速运动的那个恒定的速度．如图，两个运动的时间（AB）是相等的．显然，矩形 ABFG 的面积=三角形 AEB 的面积，所以在时间 AB 里以匀速 FB 运动的各个速度总和，等于以斜边 AE 表示的均匀变化率变化的经过同一时间的各个速度的总和．

伽利略在上述定理的基础上又推出定理Ⅱ：一个从静止开始的匀速运动下落的物体所经过的各段空间的比，等于经过这些距离（相应）所用的各时间间隔的平方之比．（证明从略）．伽利略又给出定理Ⅱ的又一种表述：在相等的时间间隔里速度按自然数增加，而在这些相等的时间时隔里所经过的距离的增量之比则等于从 1 开始的奇数之比．即 SI∶SⅡ∶SⅢ

=1∶3∶5⋯

至此，伽利略便完成了自由落体定律的数学表述．通过以上数学推导和数学表述，伽利略修正了早期关于自由落体运动的一些错误提法，提出了正确的表述：在匀加速运动中，落体的瞬时速度正比于下落的时间，经过的距离正比于时间的平方．即

S = 常量

t 2

在这里，不包含任何瞬时值，只要测定 S 和 t 就行了．