三、动量守恒定律的理论推导

动量守恒定律不仅从实验中可以获得，而且还可以从理论上推导出来．1687 年，牛顿在《自然哲学之数学原理》中，从牛顿第二定律和第三定律中导出了动量守恒定律，并把它作为一条推论在《原理》中列出．其具体的推导过程今天可以简便如下：

设两物体质量分别为 m1 和 m2．在相互作用之前的速度分别为 v1 和v2；相互作用后的速度分别为 v'1 和 v'2．根据牛顿第二定律，物体 1 受物体 2 的作用力是

F12 = m1a1

= m v'1 −v1 = m1v'1 −m1v1 = p'1 −p1

¹ t t t

物体2受物体1的作用力为

F21 = m2 a 2

= m v'2 −v2

= m2 v'2 −m 2 v2

= p'2 −p2

² t t t

根据牛顿第三定律可知

F12 = −F21

因此 p'1 −p1 t

= − p'2 −p2

t

整理可得：

p1+p2=p'1+p'2

即两物体的总动量在相互作用前后保持不变．如果系统内相互作用的物体有三个或更多，则同样可证明系统的总动量也是守恒的．

以上的推导用到了牛顿第二定律和第三定律，并非动量守恒定律依赖于牛顿定律，动量守恒定律是独立于牛顿定律的一个定律．从上面介绍的它的建立过程可知，动量守恒定律是人们在研究碰撞问题时被认识和总结出来的，并由此为建立牛顿运动定律奠定了基础．