三、运用数学方法，牛顿推导出行星运行所受到的向心力遵从平 方反比定律

牛顿在由开普勒第二定律得到的存在一个连结指向一确定中心点的力作用于行星上的基础上，进一步去寻找物体在前人提出的椭圆轨道上运动时，所受的指向椭圆焦点的向心力的规律．牛顿利用了开普勒第一定律，用数学方法证明了（证明过程从略）沿所有圆锥曲线（或双曲线、抛物线、圆、椭圆等）在任何时刻的向心力必定与该物体到焦点的距离平方成反比，其数学形式为

F＝c/R2 即向心力定律

式中 R 是从该物体中心到椭圆焦点的距离，c 为该物体的一个常数．

牛顿由开普勒第三定律进一步推知向心力平方反比定律．其数学推导为：

设某一行星的质量为 m，行星的运行轨道近似圆（由于行星椭圆轨道的偏心率很小，如地球为 0．0167，因而其轨道可近似看作圆）根据开普勒第二定律，可将行星视为匀速圆周运动由牛顿第二定律．

F＝ma＝m· v

R

= m ( 2πR) 2 =

R T

4π² mR T2

式中m—行星质量，T—行星

运行周期，R—圆周轨道半径．再由开普勒第二定律．

T²＝kR³ 代入上式得

4π² m 4π²

F＝ kR2 令 μ＝ k 得

F＝μ m

R2

式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质有关的量，称为太阳的高斯常数；m 为行星质量．

由上式可知：引力与行星的质量成正比.

牛顿通过研究引力使不同大小的物体同时落地和同磁力的类比，得出引力的大小与被吸引物体的质量成正比，从而把质量引进了万有引力定律．牛顿又进一步用实验作了验证：他用摆做了一系列实验，实验的结果以千分之一的准确度表明，对于各种不同的物质，万有引力与质量的比例始终是一个常数．

牛顿又接着作了大胆的假设，行星受到的引力与太阳的质量有关，并用数学作了推证地球对一切物体包括太阳的引力应为

F' ＝μ' M

R2

μ′—地球的高斯常数，M—太阳的质量

太阳对地球的引力为F＝μ m

R2

高斯常数

式中m—地球的质量，μ—太阳的

根据牛顿第三定律有：F＝F′即

G 是一个与地球和太阳的性质都无关的恒量，所以引力的平方反比定律的数学形式为

F＝G Mm

R2