格术

格术是中国古代一种重要的几何光学成像方法。它以光的直线传播性质为基础，认为在小孔成像和凹面镜成像过程中，存在一个约束点，该点使得物和它的像形成“本末相格”的对应关系。这是古人运用相似几何学方法处理成像问题的一种尝试。它在一定程度上揭示了相应的成像机理。

格术一词的明确提出，最早见于北宋沈括的《梦溪笔谈》卷

“阳燧照物皆倒，中间有碍故也，算家谓之格术。如人摇橹，臬为之碍故也。若鸢飞空中，其影随鸢而移；或中间为窗隙所束，则影与鸢遂相违，鸢东则影西，鸢西则影东。又如窗中楼塔之影，中间为窗隙所束，亦皆倒垂，与阳隧一也。阳燧面洼，以一指迫而照之则正，渐远则无所见，过此遂倒。其无所见处，正如窗隙、橹臬，腰鼓碍之，本末相格，遂成摇橹之势。故举手则影愈下，下手则影愈上，此其可见。（沈括原注：阳燧面洼，向日照之，光皆聚向内。离镜一二寸，光聚为一点，大如麻菽，著物则火发，此则腰鼓最细处也。）”

沈括在这里列举了凹面镜成像和小孔成像两种情况。引文中阳燧指凹面镜，

窗隙则相当于小孔成像中的孔。沈括统一用格术解释它们的成像机理，认为其成像过程就像船工摇橹一样，橹绕着其支点“臬”转动，从而使得支点两侧橹的运动形成一种“本末相格”的几何关系。同样，在凹面镜和小孔成像过程中，也有一个特殊点“碍”存在（碍，在凹面镜成像为焦点，在小孔成像为小孔），它相当于摇橹时的“臬”，光线受其约束，在“碍”处会聚，导致生成与物具有“本末相格”之势的像。

格术是几何光学成像中的基本方法。它的适用范围并不局限于小孔和凹面镜，也包括凸面镜和透镜，甚至对一些波动光学元件也成立。相应的约束点“碍”也不仅限于小孔或焦点，也可以是曲率中心或光心。用它既可以说明倒像的形成机理，也能够解释正像的生成原因。现行的几何光学成像作图法，本质上都是格术。如图 a 所示凹面镜成像的作图法，就是分别以焦点 F 和曲率中心 C 为碍连用两次格术操作的结果。图 b 所示凸透镜成像的作图法，则是以焦点 F 和光心 O 为碍连用两次格术操作的结果。一般说来，小孔成像只需用一次格术操作即可，球面镜和透镜成像而须连用两次格术操作，才能最终确定像的大小、倒正和位置。

成像问题可用格术操作解决，这有其内在道理。像的定义要求像与物之间成点点对应的空间变换关系，而格术是满足这一要求的最简单的空间变换

——点投影变换。进一步的研究表明，成像过程的格术也符合波动光学基本规律。由此，格术概念是包含有极其深刻的物理内涵的。当然，这些只是我们今天的认识，古人并未达到这样的深度。

格术作为一种几何光学成像操作方法，在沈括之前已经存在。《墨经》对凹面镜成像的解释，在本质上就是格术。《经》记述凹面镜成像特征，说： “鉴洼，景一小而易，一大而正，说在中之外内。”即是说，凹镜的像，一种是缩小的倒像，一种是放大的正像，原因是物位于“中”的内外不同。《经说》解释道：“鉴：中之内，鉴者近中，则所鉴大，景亦大；远中，则所鉴小，景亦小：而必正。起于中缘正而长其直也。中之外，鉴者近中，则所鉴大，景亦大；远中，则所鉴小，景亦小：而必易。合于中而长其直也。”这里“中”的概念十分重要，由引文及《墨经》的几何知识来看，“中”显然

指的是一个点。物体位于“中”的外内，决定了成像的倒正，符合这一条件的点只能是焦点。墨家意思是说：物体位于焦点里面时，靠近焦点，则照在镜面上的投影要大些，生成的像也大；远离焦点，照在镜面上的投影要小些，生成的像也小，但都是正像。这是因为物体在镜面上的投影是从焦点出发，依照正立的姿态而投射上去的。物体在焦点外的成像情况与之类似，只是所成的像都是倒像，这是由于由物体出发的光线先在焦点处聚合，然后才投射到镜面上去的缘故。需要指出，《经》文并未将凹面镜成像的三种情况（小而易、大而易、大而正）完全记录下来，但《经说》对成像机理的解释则涵盖了这些情况，而且在本质上与格术概念一致。此外，墨家还提出像的大小决定于物离开焦点的远近，这是完全正确的。但由于《墨经》语言的隐晦和后世墨学的衰微，墨家用以解释凹面镜成像的这套理论，长期不为人们所知。一直到了宋代，沈括才记叙并发展了类似的方法，并且赋予它专门名称，叫做格术了。

无论墨家还是沈括，都没有充分认识到格术所具有的深刻物理学含义。他们在讨论凹面镜成像时，只运用了一次格术操作，这只能解决像的大小和倒正，不能同时确定成像位置。但无论如何，格术概念的提出，毕竟标志着古人不但开始从光线进行角度分析成像情况，而且抓到了成像本质，这为中国古代几何光学的进一步发展奠定了基础。清代郑复光曾利用格术概念探讨过具体光学问题，邹伯奇则以《格术补》作为他的几何光学著作的书名，在其他书籍中也可见到用格术思想解释小孔成倒像的例子，这表明格术概念对中国古代几何光学发展产生了一定影响。时至今日，我们依然可以从这一概念中获取许多有益的启示，这正是它的历史价值之所在（参见李志超、徐启平：《中国古代光学的格术》，《物理》14 卷 12 期，1985 年）。