十二平均律

中国古代的音律学说，很长时间以三分损益法作为其数学运算工具，这固然有许多优点，在音律史上有不可磨灭的历史地位，但也有不足。其不足主要表现在两个方面：其一，依三分损益律得出的十二个音，音程大小不一， 相邻两律间的音分差各不相等，它们与现行十二平均律的相应音分差的偏差平均约为 13 音分，是一种不平均律；其二，当某律比基音高（或低）八度时， 与之相应的弦长并不恰好等于基音弦长的一半（或二倍）。我们知道，所谓音高升高八度，是指该音与基音的频率比为 2∶1，而根据物理学知识，频率与弦长成反比，这样，与高八度音相应的弦长也就应该等于基音弦长的一半。但依据三分损益律得出的结果不是这样。例如设基音弦长为 9 尺，依三分损

益法，较之高八度的音的弦长为 4.44 尺，而不是 4.50 尺。也就是说，三分损益法定出的高八度的音，实际上并不是准确的高八度。这些缺陷，使得它不适于进行旋宫转调。

所谓旋宫转调，是就五声（或七声）与十二律的搭配而言的。在五声音阶宫、商、角、徵、羽中，古人通常以宫作为音阶的第一级音，但实际上， 商、角、徵、羽也可以作为第一级音，充任在乐曲旋律中最重要的居于核心地位的主音角色（七声音阶情况类似）。音阶第一级音的不同，意味着调式的不同。这样，五声音阶就有五种主音不同的调式。我们知道，五声只反映了相对音高，在实际音乐中，它们的音高要用律来确定。十二律为它们提供了十二个绝对音高，这十二个音高任何一个都可以作为五声音阶的第一级音。第一级音一经确定，其余各音用哪几个律，也都随之确定。例如，以黄钟作为宫音的黄钟宫，其各音与律的对应关系为：

表中清黄钟，表示比黄钟高八度的音。依次类推，还可以有清大吕、清太簇⋯⋯ 这是黄钟宫。还可以以大吕作为宫音，叫做大吕宫。理论上十二律都可以用来确定宫的音高，即它们可以轮流做宫，这就叫旋宫。旋宫的结果，就有十二种不同音高的宫调式。商角徵羽各调式情况与此类似。这样，十二律与五声组合，可以得到六十种调式（与七声组合，有八十四种调式）。古人把实际音乐中这些不同调式之间的转换就叫做旋宫转调。通俗地讲，旋宫就是调高的改变。

显然依三分损益法得到的十二律，不适宜于旋宫转调。

针对三分损益律的缺陷，历代音律学者做了大量的探索。例如，依据三分损益法，当生到第十二律后，不能回到出发的律上，使十二律不能周而复始。对此，西汉京房采用增加律数的方法加以解决。他依照三分损益法，从黄钟起相生十一次后到中吕，从中吕起继续往下生，一直生到六十律。实际上，这样推到第五十三律时，已经与出发律极相似，再推下去则出现差误了。因为第五十四音的音高，就高于原音四个古代音差，约为一律了。京房为使

律数与历数相结合，一直凑到六十律，他把六十律中的每一律，代表一天至八天，六十律正合一年三百六十六天。这样的牵强附会，使得这种方法必然要走上脱离音乐实际的道路。后来，南朝宋的钱乐之、梁的沈重继之又推到三百六十律，想以律数去附会一年三百六十天，这样的繁琐，使得这种定律在演奏实践和乐器制造方面都遇到了困难，因而没有实用价值。

南北朝时期的何承天则另辟蹊径，他反对京房、钱乐之等人一味增加律数的做法，而是在十二律的内部进行调整。他改革的思路是，首先设定音程每相差八度时，相应的弦长必须呈整数倍关系，如基音的弦长为 9.00 尺，较之高八度的音的弦长为 4.50 尺，再高八度的音的弦长为 2.25 尺，等等。在这一设定基础上，对依三分损益法所得到的各律弦长做适当调整。调整的办法是，把达不到弦长（或管长）的差数分为十二份，分别加在相应各律弦长， 这就保证了十二律中最后一律能回到出发律上。他这样做的结果，虽然与由频率比所得的准确平均律不同，但差别不大，从听音效果来说，人耳已很难分辨出二者间的差别。后来，五代时期的王朴在何承天思路的基础上又做了进一步的改进，他打破了何承天平均分配弦长差数的办法，从而使得结果更趋准确。

但是，无论是何承天还是王朴，都没有最终解决问题。他们只是在按照律管长度来分配差数上下功夫，而不是按照频率来分配差数，这使得各律间音程紊乱，转调更加困难，不便于实用。但是他们的努力打破了三分损益相生的陈规，为后人彻底解决这一问题做了准备。

最终出路只有一条，选择十二平均律。

所谓十二平均律，是严格地将八度音程分成十二个音程相等的半音的音律系统。显然，为了彻底解决旋宫转调问题，要求音律系统至少满足两点， 其一，就八度音程而言，必须十分严格、准确；其二，各个半音音程必须相等。否则，对一定的旋律来说，就只能从八度中的某一固定的音开始，这就限制了曲调的范围和发展。三分损益律不能满足这两个要求。何承天、王朴的工作解决了第一个问题，但对后者的尝试则不能认为成功。只有十二平均律才能满足这些要求。所以，在现代音乐实践中，十二平均律得到了广泛应用。

实现十二平均律的关键在于按照等比数列方式分配各律相应的弦长。因为十二平均律要求各个半音音程相等，而音程相等意味着相邻各音频率比值相等，由此就自然构成了呈现等比数列分布的相应各律弦长。显然，问题的症结在于找出这个数列的公比。设主音的频率为 m，它的八度音的频率为 2m， 在这两个音之间分成十二个等程的半音，令相邻两半音比值为 t，则

2m=mt12

故t = ¹² 2

t 的倒数就是计算弦长分布时所用等比数列的公比。即如果基音弦长为 l，则

以下各律的相应弦长依次为2

— 1

12 l，2

— 2

12 l，

—11

2 12 l，由此确定的各律就

是十二平均律，它完全能够满足音乐实践中的旋宫转调、演奏和声等要求。在音律学史上，是明代科学家朱载堉最先发明了十二平均律。在他的成

书于 1584 年的《律学新说》中，朱载堉首次阐述了十二平均律的理论，随之

在其《律吕精义》（成书于 1596 年）中作了进一步的讨论，并在其数学著作

《嘉量算经》中，记述了关于十二平均律的详细的数学演算，为后人留下了

珍贵的文化遗产。

朱载堉没有频率、音程这些现代概念，他怎么能够发明十二平均律呢？ 实际上，这些概念并非发明十二平均律的必要条件，在朱载堉之前，追求乐曲演奏中的旋宫转调，是相当一部分音律学家们梦寐以求之事，他们的追求为朱载堉的工作奠定了基础。例如，朱载堉的父亲朱厚烷就有可能窥到了十二平均率的某些奥秘，他曾对朱载堉说：“仲吕顺生黄钟，返本还元；黄钟逆生仲吕，循环无端。实无往而不返之理。笙琴互证，则知三分损益之法非精义也。”（《律吕精义·序》）这些话表明，他可能已经初步找到了可以达到旋宫的调律法，所需要的就是准确的数学表示方法。这对朱载堉的工作当然是有很大帮助的。就朱载堉而言，他知道两个相隔八度的弦长比为 2， 同时这中间的十二个律数又不能变，这样要实现转宫的可能，关键是要用某种数学方法为十二律定位。朱载堉具有很高的数学才能，又具有浓厚的音乐实践基础，他通过大量的数学计算和声学实验，终于发现

十二平均律是以¹² 2为公比的等比数列，并且找到了等比数列已知首项和末项，如何求解中项的方法，并将其应用于十二平均律，从而为世人提供了完整的十二平均律的计算方法。

朱载堉发明出十二平均律后，并没有得到多少人的响应。清朝康熙、乾隆皇帝都曾经反对过这一学说。但这一学说传到国外以后，却引起了很大震动，得到热情赞扬。西方学者找到十二平均律，有可能受到朱载堉音律理论影响所致。这一律制在理论和实践两方面被人们普遍接受，是发生在西方， 并由之传遍世界。在这整个过程当中，朱载堉走在了最前列。