误差理论

误差理论是测量学说的重要组成部分。随着测量实践的展开，中国古人对误差理论也进行了内容丰富的探讨。他们已经认识到，在测量中误差不可避免，并讨论了产生误差的原因和相应减少测量误差的方法，还对误差概念从理论上作了分析。

在对测量行为可信性的分析上，古人认为，正确的测量本身是可以信赖的，它是人们认识事物的一种可靠手段。《隋书·律历志》说：

“一十百千万，所同由也；律、度、量、衡、历、率，其别用也。故体有长短，检之以度，则不失毫厘；物有多少，受之以器，则不失圭撮；量有轻重，平之以权衡，则不失黍丝；⋯⋯故隐幽之情，精微之变，可得而综也。”

这里表达的思想来自刘歆的“典领条奏”，意思是说，测量中要用到数的概

念，用数字表示的测量结果可以达到很高的精确度。就长度而言，其差不到毫厘；就体积而言，其差不到圭撮；就重量而言，其差不到黍丝。这样的准确程度，确保了人们能够获得对事物的正确认识。

另一方面，再准确的测量，也总还会有误差存在，《淮南子·说林训》指出：

“水虽平，必有波；衡虽正，必有差；尺寸虽齐，必有诡。非规矩不能定方圆，非准绳不能正曲直，用规矩准绳者，亦有规矩准绳焉。”

意思是说，水面即使平静，也有波纹存在；权衡即使平正，结果也会有偏差；

尺寸即使已经对齐，读数也会有不一致处。没有仪器不能进行测量，使用仪器必须遵守相应的操作规则。这段话甚为重要，它反映了古人在误差概念上获得的一个重要进展：在测量中，误差不可避免。

古人在自己的测量实践中，广泛涉及到了误差的产生原因。这些涉及， 丰富了古代误差学说的内容。

《荀子·正名篇》说：“衡不正，则重悬于仰，而人以为轻；轻悬于俛， 而人以为重。此人所以惑于轻重也。”“衡不正”，是说天平没有调到平衡状态，这时进行称重，它就不能反映被测物的实际重量。这里所涉及的，就是不遵守操作规则而导致的过失误差。

《慎子》说：“厝钧石，使禹察锱铢之重，则不识也。”厝，放置之意。以钧、石这样大的量器来“察锱铢之重”，即使圣如大禹，亦将茫然不识。这是测具不当，单位过大，使测量无法进行的例子。

《淮南子·泰族训》说：“寸而度之，至丈必差；铢而称之，至石必过。石称丈量，径而寡失。”径而寡失，是古人在测量实践中得到的重要认识， 也是测量工作应该遵循的一条基本原则。这一条涉及到累计误差，它要求人们尽量选择合适测具，减少测量次数。古人类似说法很多，例如，《宋史·律历志》也说：“物铢铢而较之，至石必差。”这反映了同样认识。

观测要用仪器，仪器因各种原因有时会产生系统误差。古人对之也有所涉及，这主要表现在他们观测天体的实践上。例如，东汉学者贾逵在讨论用赤道仪观测日月运动时出现的“或月行多而日月相去反少”的误差现象时， 就曾说过：

“赤道者为中天，去极俱九十度，非日月道，而以遥准度日月，失其实行故也。”（《后汉书·律历志》）

日月都是沿着黄道运动的，而当时的浑仪只有赤道坐标，以之量度日月，不

能反映其实际运动情况，由此带来的误差，就是用赤道仪观测日月运动的系统误差。贾逵所谈论的，就是这件事情。

古人对观测中产生的系统误差有时还有定量分析。例如，沈 括《浑仪议》即曾提到：

“李淳风尝谓斛兰所作铁仪，赤道不动，乃如胶柱，以考月行，差或至十七度，少不减十度。此正谓直以赤道候月行，其差如此。”

这里给出了误差分布范围：介于十七度到十度之间。也指出了误差产生原因：

“直以赤道候月行。”这明白无误告诉我们，这里所论的是斛兰浑仪的系统误差。

测量有一定的数理依据，这一依据本身有时也会成为产生误差的根源。古人对此多有涉及，例如，三国时王蕃在讨论天球大小时，对陆绩的结果表示不满，说陆绩不准确的原因在于他用了“周三径一”这样不准确的圆周率， 因而导致计算结果有误。梁朝祖暅也有过类似的批评。（《浑天论》）这些， 是通过对产生最后测算结果所依据的数学关系的分析，指出了产生误差的原因。

古人进行天文测量的物理依据之一是光行直线，这一依据遭到了明末方以智的否定。方以智评论当时流行的计算日体大小的方法时说：

“细考则以圭角长直线夹地于中，而取日影之尽处，故日大如此耳。不知日光常肥，地影自瘦，不可以圭角直线取也。何也？物为形碍，其影易尽， 声与光常溢于物之数，声不可见矣，光可见、测，而测不准也。”（《物理小识》卷一）

“光肥影瘦”是方以智提出的重要概念，其中心意思是说光不走直线，光在

传播过程中常向几何投影的阴影处侵入，因此运用建立在光行直线基础上的几何测算方法进行测量是“测不准”的。它是导致这类测量产生误差的主要原因。方以智的论述未必恰当，但他注意到了测量时物理依据的可靠性问题， 这也是难得的。

中国古代的误差理论，还涉及到了测量的精确度和准确度的概念。《礼记·经解》说：“易曰：君子慎始，差若氂厘，缪以千里。”可以这样理解这句话：在行为的开始和终结，其准确度一样，但精确度却大不相同。换言之，相对误差不变，绝对误差则大大增加了。

《礼记》的引述，只能说是对精确度和准确度概念的朴素涉及，真正从理论上对这些概念加以探讨的，则是宋代沈括，他是在讨论用浑仪测天有关问题时涉及到此内容的。他反对那种认为浑仪置于高台之上，观测日月出没时不与地平相当，因而增加了误差的观点，说：

“天地之广大，不为一台之高下有所推迁。盖浑仪考天地之体，有实数， 有准数。所谓实者，此数即彼数也。⋯⋯所谓准者，以此准彼，此之一分，则准彼之几千里之谓也。今台之高下乃所谓实数，一台之高不过数丈，彼之所差者亦不过此，天地之大，岂数丈足累其高下？若衡之低昂，则所谓准数者也。衡移一分，则彼不知其几千里，则衡之低昂当审，而台之高下非所当卹也。”

（《浑仪议》）

沈括所谓的“实数”，与测量精确度有关，它所影响的是测量绝对值，相应的误差是绝对误差。“准数”，是测量的相对值，是用浑仪观测天体时反映在仪器上的读数，由此产生的误差直接影响了最后测算结果的准确度。在沈括所举的例子中，台子高下是“实数”，在此基础上进行测量导致的绝对误

差可达“数丈”之巨，但它对相对误差的影响却近似于零，所以沈括说，“天地之大，岂数丈足累其高下？”另一方面，窥管在浑仪上的读数是“准数”， 它本身的误差也许不大，但因其反映的是相对测量数据，“衡移一分，则彼不知其几千里”，所以对最后结果影响还是很大的。沈括的分析表明，在判断误差对测量结果的影响方面，他已有清晰而正确的认识。

在如何减少测量误差方面，古人一般是“对症施治”，针对产生误差的原因加以改正。除此之外，他们还特别重视保持测量标准的稳定。《淮南子·主术训》说：“今夫权衡规矩，一定而不易，不为秦楚变节，不为胡越改容， 常一而不邪，方行而不流，一日刑之，万世传之，而以无为为之。”这里讲的，就是人们所向往的理想状况。另一方面，与测量中误差不可避免的思想相一致，古人也意识到测量器具不可能绝对符合标准，于是，他们还规定了度量衡器具在使用中的允许误差范围。例如在《睡虎地秦墓竹简》的《效律》条中，就记述了秦朝法律对此的有关规定。这种规定的自的，当然是为了限止和减少度量衡器具在使用时的测量误差。

在古人为减少误差而采取的种种措施中，有两种做法特别值得一提，因为它们很巧妙地运用了误差理论。

一种做法是减少测量中的相对误差，这在古人立表测影的演变过程中有所反映。早期的测影，表高一般八尺。到了元代，郭守敬立的表高达四十尺， 而到了明万历年间，邢云路在兰州建造的表则高达六十尺。竖立高表，增加了表影的测量值，在绝对误差变化不大情况下，相对误差自然就降低了。古人说：“表长而晷景长，尺寸纵有毫秒之差则少矣。”（叶子奇《草木子·杂制篇》）指的就是这个道理。

另一种方法是宋末赵友钦在测量恒星赤径差时采用的，意在避免过失误差，减少偶然误差。为保证观测结果的可靠性，他把观测人员分为两组，用同样的设备，观测相同的恒星，所得结果相互参校。他说：“必置四壶，立两架，同时参验，庶无差忒。”（《革象新书·测经度法》）他的做法与现在人们取用多次测量的平均值作为真值的思想内涵是一致的。

中国古代对误差问题的讨论，一般散见于各类书文之中，因而显得有些零散，没有形成自己首尾一贯的系统。即使如此，古人对误差理论的探讨还是达到了一定的深度和广度，是值得予以认真总结的。