测角度原理

中国古代角度概念不发达，但古人在其科学活动和日常生活中，不可避免要涉及角度，这就存在着一个如何测量问题。由于中国古代不像西方那样，存在着一个对任何问题都适用的 360°圆心角分度体系，古人的角度测量，归根结底就成了一个角度体系规定问题，只要规定了所论对象的角度体系，测量问题也就迎刃而解了。

古人规定的角度体系大致可分为三类：一类属于技术规范，一类用于标志地平方位，另一类则专门用于天文观测。

属于技术规范这一类的，在《考工记·车人之事》条中有清晰的规定：

“车人之事：半矩谓之宣，一宣有半谓之■，一■有半谓之柯，一柯有半谓之磬折。”

这里矩、宣、■、柯、磬折等表示的就是这套角度的具体名称。矩为直角。

若用现行分度法表示，则

一矩 = 90°

一宣 = 1 ×90° = 45°

一■ = 45

°＋ ×

45° = 67°30′

一柯 = 67°30

′＋ 2 ×

67°30′ = 101°15′

一磬折 = 101°15 1 101°15′ = 151°52′30″

′＋ 2 ×

显然，这套角度是这样确定的：选择一个人们最熟悉而又易于实现的角为基本单位，通过简单数学运算，确定其他角的大小。

这种定义方法与古巴比伦分圆为 360°的等分定义法完全不同，它只是一些特定的角，是工匠制物的规范。因为这套角度数值是规定好了的，在实用当中只需拿标准去比对即可，不一致即不符合要求，因此在测量上并不复杂。

磬折的概念，源自古代编磬，编磬的鼓上边与股上边所成的夹角与这里“磬折”角的大小差不多，于是古人就借用了这一名词，使之成为矩、宣、

■、柯、磬折这一体系的一员。

磬折概念虽然源于编磬，但它并非制作编磬的技术规范。《考工记》在涉及编磬制作时专门为该角规定了一个名称，叫倨句。倨句的大小也是以矩为基础来定义的。《考工记·磬氏为磬》条规定说：“倨句一矩有半”，据此，

一倨句 = 90 1 90° = 135°

°＋ 2 ×

近半个多世纪以来，随着编磬的大量出土，人们发现它的相应角度与这一数值甚为接近，证明《考工记》对倨句大小的规定，在古代基本上是得到贯彻执行了的。

磬折倨句这些概念作为技术规范，在《考工记》中多处被提及，甚至在古代社会生活中也有所应用。例如《礼记·曲礼下》就规定，凡是捧执君主之器，要求“立则磬折垂佩”，即是说，站在那里要保持鞠躬姿势，鞠躬程

度大致要符合磬折角度，这样，身上佩带的玉佩自然也就悬垂于身前了。这表明这套角度体系在古代还是得到一定程度的应用了的。

当然，作为技术规范，这一角度体系是远不敷用的，因为它只覆盖了几个特殊的角度，不具备普遍意义。由此，在一些特定情况下，古人还补充了一些特殊规定，以适应生产发展之需求。例如，《考工记·弓人为弓》条就针对弓的制作这一具体事件规定说：

“为天子之弓，合九而成规；为诸侯之弓，合七而成规；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。”

这是用圆心角的大小来规定了弓背的曲率。同样，在《筑氏为削》条里也有

类似规定：

“筑氏为削，长尺博寸，合六而成规。”

中国古代几何角度概念不发达，对于涉及角度的一些技术问题，只有依靠这些特殊规定，上述例子很清楚地表明了这一点。

角度体系一重要用途是标示方位，而《考工记》所载之角度概念不能胜任此工作。对此，古人采用的是另一种方法，用十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）表示十二个地平方位，其中子代表北方，卯代表东方，午南酉西。这种表示方法在汉代很常见，《周髀算经》卷下有“冬至昼极短，日出辰而入申，阳照三不覆九，⋯⋯夏至昼极长，日出寅而入戌，阳照九不覆三”，就是这种用法。这种表示方法在历史上流布很广，宋代沈括在其《浑仪议》中提到浑仪上地平环的作用，说它“若车轮之仆，以考地际，周赋十二辰，以定八方”。可见在天文仪器上，这种地平方位表示方法也曾被用到。

为了更精确地表示地平方位，古人又用四维（艮、巽、坤、乾）、八干

（甲、乙、丙、丁、庚、辛、壬、癸）、十二支来表示二十四个方位，如图所示。这种方法当然也可以视为一种角度体系，它的每一名称都对应于一个特定方位，虽然限制了角度概念的深化，但也可以满足一定的实用需求，因而在古代社会中，也得到了比较广泛的应用。在现存的古罗盘上，经常可以看到这种分度方式。

因为在上述地平方位表示体系中，每一个名称与特定方向相对应，这样在应用这一角度体系时，就必须首先将其按实际方位对正，换言之，即准确判定东西南北四向。“四向既正，则轮盘二十四向皆正矣。”（《革象新书·地有偏向》）

判定东西南北四向的方法，在古代中国产生很早。其中《考工记》“匠人”条的论述为最具代表性：

“匠人建国，水地以悬，置■以悬。为规，识日出之景与日入之景。昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。”

这里“■”是木质的表，把■垂直竖立于地面，以之为圆心作圆，把日出和

日没时表影与圆周相交的两点记下来，这两点连接起来就是东西的方向，这样来得到比较正确的东西方向。东西南北四向确定以后，上述地平方位角的测量也就不成问题了。

除了上述地平方位表示方法以外，古代还存在八卦、六十四卦等地平方位表示法，这些表示法的应用在测量原理上与二十四方位表示法相同，这里就不再多述。

四维、八干、十二支表示方法，是用以表示地平方位，在需要标示天体

方位情况下，古人则采用分圆周为365 1 段的分度方法。古人在观测实践中

发现，太阳每365 1 日在恒星背景上绕天球运行一周，由此启发他们想到，

若分天周为365 1 段，则太阳每天在天球背景上运行一段，据此即可确定一

年四季太阳的空间方位，而这对于制定历法非常重要。古人把这些分段叫做“度”。这些度在概念上不能视同于我们今天所说的圆心角，它只是表示一

种弧长比例单位，一度表示分圆周为365 1 份时每份的长度。

365 1 分度体系的测定方法受宇宙结构学说的影响。中国古代主要的宇

宙结构学说有两家：盖天说和浑天说，它们各有其不同的测定方法。

盖天说的代表著作《周髀算经》卷下所载的“立二十八宿以周天历度”，

详细介绍了该学说应用365 1 分度体系进行测量的方法，具体是，在平地上

作一“径一百二十一尺七寸五分”的大圆，则依“径一周三”，圆周为365 1

尺，再从圆周上正南一点起，每一尺作为一度，分圆周为365 1 度，然后即

即可测量。测量的具体过程是：

“立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中，则复望须女之星先至者，如复以表绳希望须女先至定中，即以一游仪，希望牵牛中央星，出中正表西几何度，各如游仪所至之尺为度数，游在于八尺之上，故知牵牛八度。

其次星放此以尽，二十八宿度则之矣。”

文中所说的希望，为瞄准之意。“放此以尽”，“放”通仿。这段话所反映

的是一种比例对应测量思想。天空大圆365 1 度，在地面上也做一个与之对

应的圆，然后把星辰在天空上的位置相应地标在地面这个圆上，这就把二十八宿在这一分度体系中的距度确定了下来。今天看来，用这种方法确定的实际是二十八宿依次转到正南时之地平方位角，不是其赤经差。但这毕竟是对其方位的标示，对人们了解日月星辰在天空中的大致位置，还是有帮助的。浑天说继承了盖天说的这种比例对应测量思想，并依照自己的宇宙结构

模式对之做了相应调整。浑天说认为天是个圆球，天包着地，这样要测定环绕天球分布的二十八宿的距度，就不能像《周髀》那样在平地上作圆，而必须以与天赤道平行的方式竖一个立圆，这就导致了浑仪的产生。

初期的浑仪仅设一个与赤道平行的规环，后世的浑天家在与该规环垂直

的方向又竖起了一个与之共心的规环，在这些规环上刻上了标志365 1 分度

的刻线，并依据万向轴工作原理，设置了可指向星空任一位置的衡管，以衡管的瞄准代替了《周髀》中的“以表绳希望”。这样，天空中任一星体的位置，都可以通过这两个规环上的有关读数，用入宿度和去极度这样一对相互垂直的坐标表示出来。这一过程，在东汉时已经完成。

古人圆心角概念薄弱，他们根据自己的理解对浑仪测天原理做了说明，其中北宋沈括的解说颇具代表性，其《浑仪议》提出：

“周天之体，日别之谓之度。⋯⋯度在天者也。为之玑衡，则度在器。度在器，则日月五星可持乎器中，而天无所豫也。天无所豫，则在天者不为难知也。”（《浑仪议》）

这段话表明，浑天说测定天体空间方位，所信奉的也是比例测度思想：按日附天之行分天为一定之度，将其缩小至浑仪上，则度在浑仪，通过瞄准所要测量之天体，观察其在浑仪上的相应位置，即可知其在天之度。

尽管365 1 分度方法的产生是基于比例测度思想，但分度一旦确定，圆

弧上每一段都与一定的圆心角相对应，据此转动浑仪上的窥管进行观测，实际上是角度测量。由此在讨论古人观测结果时，可以直接把他们的记录视同角度。不过，古人所说的度数，与现行 360°圆心角分度的数值稍有差异，这是应予注意的。