正方案

正方案是元代著名科学家郭守敬发明的天文仪器之一，其主要用途是测影定向。

传统的测定水平四向的方法是立竿测影。这一方法因为载入儒家经典《考工记》而更显出它的重要。《考工记·匠人》篇说：

“匠人建国，水地，以悬置■，以悬■以景。为规，识日出之景与日入之景。昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。”

引文中两次出现“以悬”二字，后者就操作而言，并非必要，当为衍出的。

从内容来看，《考工记》记载的这一方法是用来“正朝夕”，即确定东西方向的。其具体方法是：首先，“水地”，通过取水准的办法使待测点附近的地处于水平状态。然后，“以悬置■”，树立一木质的表，通过取悬线的方法使该表垂直于地面。这些准备工作做好之后，就可以用于观测了。“为规”， 指用圆规作圆，圆心在表处。然后，把日出和日没时表影与圆周相交的两点记下来，这两点连线所表示的方向就是东西方向（如图所示）。这样还怕不准确，还要白天参考日中时的表影方向，夜晚参考北极星的方向，如此来得到较为正确的东西方向。

《考工记》记述的方法简便且实用，它的内在依据是太阳的周日视运动是对称的。这一依据基本上是成立的。因此这种方法在古代得到了充分应用。

《周髀算经》就有类似的记述。《淮南子》也记述了确定方向的立表测影方法，虽然其测定过程与《考工记》稍有不同，但其内在依据则完全一致，仍可归为一类。顺便指出，古人在判定方向时，除了天文学方法，还采用指南车、司南等机械的和物理的方法，但这些方法都要以天文学方法亦即立表测影作为最终判据，故此古人对《考工记》介绍的这一方法非常重视，围绕着它做了大量孜孜不倦的探讨。郭守敬发明正方案，就是这些探讨中有代表性的一个。

正方案的具体形制在《元史·天文志》中有详细记载：

“正方案，方四尺，厚一寸。四周去边五分为水渠。先定中心，划为十字，外抵水渠。去心一寸，画为圆规，自外寸规之，凡十九规。外规内三分， 画为重规，偏布周天度。中为圆，径二寸，高亦如之。中心洞底植臬，高一尺五寸。南至则减五寸，北至则倍之。”

根据这段描述，所谓正方案，是一块边长四尺、厚一寸的正方形平板。在板

面上离边五分之处开有水渠，用以校正案的水平。事先确定案的中心，过中心画一十字线，线延伸至水渠处。以中心为圆心，由内向外依次画圆，相邻圆之间的距离为一寸，共十九个圆。在最外圆向内三分处另画一圆，在这两个圆之间刻画周天度数。最里边的圆直径二寸，在这个圆上做成高亦二寸的圆柱体，中心开一个贯通上下的洞，洞里插一根竿子。竿子的高度可以调节， 一般高出案面一尺五寸；冬至前后减去五寸，使之高一尺；夏至前后则增加一倍，使之高三尺。之所以如此，是为了保证至少在每天中午时竿影一定要落入案内。我们可以通过简单的数理推算证实这一点。据《元史·历志》所云：“地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。”地中，传统上指阳城，郭守敬登封观星台即位于此地。依据这里所给出的尺高与影长的比例，可以推算出当正方案中臬高一尺时，相应的景长略大于 1 尺 6 寸，这

是冬至那天中午时的情形。夏至时臬高度为 3 尺，用类似方法推算，其影长

为 5 寸 6 分。其他日子中午影长当介于这二者之间，均落于案内。这是在登

封的情形。另外，《元史·历志》还给出了在当时北京用 40 尺高表测得的冬夏至影长：“今京师长表冬至之景七丈九尺八寸有奇，⋯⋯夏至之景一丈一尺七寸有奇。”依此比例推算，冬至时正方案中 1 尺臬表景长约为 2 尺，恰

落入案内；夏至时 3 尺臬表影长约为 9 寸，景端落在从里数起的第九规上。可见，郭守敬关于正方案中臬表高度的规定主要是从元大都（今北京）天文台的实际出发的，对于大都以南的广大地区也适用。

正方案结构如此，那么它是如何使用的呢？《元史·天文志》记载说：

“凡欲正四方，置案平地，注水于渠，眡平，乃植臬于中。自臬景西入外规，即识以墨影。少移辄识之，每规皆然，至东出外规而止。凡出入一规之交，皆度以线，屈其半以为中，即所识与臬相当，且其景最短，则南北正矣。复遍阅每规之识，以审定南北。南北既正，则东西从而正。然二至前后，日轨东西行，南北差少，即外规出入之景以为东西，允得其正。当二分前后，日轨东西行，南北差多，朝夕有不同者，外规出入之景或未可凭，必取近内规景为定，仍校以累日则愈真。”

根据这段记述，在利用正方案测定方向时，首先要“注水于渠”，把案调整

得处于水平状态。然后在中间洞中树起一个表，观察表影投向。随着太阳升高，表影逐渐移入案内，视表影顶端落在某一圆周上时就用墨标出相应记号， 从上午影子由西进入外圆，到下午影子向东跨出外圆为止。把同一圆上两个墨点连接起来，它们的中点和圆心联线的方向就是正南北方向。把各个圆上相应两个墨点都这样求出结果，让其相互参校，就能得出正确的南北方向。南北方向确定以后，东西方向也就随之确定了。

利用正方案测定方向，比之传统的测影定向方法有许多优越性。

首先，在正方案外圆的刻度圈上，刻画着周天度数，而此前及当时人们常用的较为精细的地平方位表示法，是以四维、八干、十二支来标示二十四个地平方位角的地平坐标体系。诚然，在宋代的一些浑仪上有百刻环，每刻合今度 3.6°，也用到了地平方位上，但那毕竟是与浑仪连为一体的。现在在一个测定水平四向的仪器上刻画上了周天度数，这是富有新意之举。它与西方表示地平方位的 360°分度体系已相去无几。

其次，《考工记》中记述的方法固然简便，但那种方法测量的是日出、入时的表影，而日出入时的表影一般都比较模糊，这样它们和圆周的交点就不易确定。现在，利用正方案来测，就弥补了这一不足。因为正方案要求测定的是日升高以后表影端点的位置，这时光线已强，表影模糊程度已经大为下降。

更重要的是，郭守敬在这里强调要使用多组观测的办法，以提高最终结果的准确度，这完全符合近代误差理论。误差学说强调以多次观测结果的平均值作为最后结果，这与郭守敬的思想是一致的。诚然，《考工记》中也提到一次测量不够，还要“昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕”，但这是用另外的测量作为参校，不是对同一因素的反复观测，在误差理论上这是不一样的。

在观测中，郭守敬注意到冬、夏至前后太阳的赤纬变化较小，即使仅取最外圆上的一组观测点，结果也很正确。而在春、秋分前后，太阳赤纬变化大，晨昏之间，差别显著，外圆上的观测点对于真子午线来说不对称，测量

结果有偏差，不可为凭。这时必须取用最内圆上的观测点，并要连续几天反复测量，才能得到正确的结果。他的这一认识是比较科学的。

郭守敬发明的正方案用于测影定向，准确度很高。现存的河南登封观星台是郭守敬领导修建的，那里就设有正方案。观星台长达一百多尺的测影石圭是郭守敬测定南北取向的直接见证。1975 年，北京天文台曾派人去那里用近代科学方法测定当地子午线方位，测量结果表明，石圭遗址的取向，同当地子午线方位符合得相当好。七百年前的郭守敬能取得这样的成绩，不能不令人钦佩。