测长原理

长度测量是一切测量的基础，不论古今皆然。对于长度测量，古人一般是用选定的标准和被测物直接加以比较而实现的，这就是所谓的直接测量。直接测量是长度测量的基本形式，其过程直观结果具有说服力，因而深

得古人信服。《汉书·律历志》记载的西汉人对长度单位分、寸、尺、丈、引的解说，就充分表明了这一点：

“分者，自三微而成著，可分别也。寸者，忖也。尺者，蒦也。丈者，张也。引者，信也。夫度者，别于分，忖于寸，蒦于尺，张于丈，信于引。引者，信天下也。”

这里引述的五个长度单位，都是从直接比较的角度着眼的，每一个单位名称

都隐喻着一种测量动作。其中信读为伸，与伸义同。显然，在古人心目中，长度测量的基本形式就是直接比较，所以他们才会这样去解说这些长度单位。

有时，古人为了表明自己所提出的数字是正确的，往往宣称那是实测的结果。例如，《淮南子·地形训》在探讨大地尺寸时，就有这样一段话：

“禹乃使太章步自东极，至于西极，二亿三万三千五百里七十五步；使竖亥步自北极，至于南极，二亿三万三千五百里七十五步。”

太章、竖亥，都是传说中大禹时代的人物，说他们善于步行。《淮南子》这

里提出的数据，绝非实测之结果，然而古人言之旦旦，强调说这是太章、竖亥步量所得。这种现象，充分表明了他们对直接测量方式的崇信。

对于远距离的粗略估量，古人有利用速度、时间、路程三者之关系加以测算的。方法是根据经验确定所行速度，再以速度乘以所行时间，即得所要估测之距离。早在《管子·乘马》中，就有这种测法的反映：

“天下乘马服牛，而任之轻重有制，有一宿之行，（原注：一宿有定准，则百宿可知也。）道之远近有数矣。是知诸侯之地、千乘之国者，所以知地之小大也。”

所谓“任之轻重有制”，是说要使马或牛的负重量一定。这可以保证速度的

实际值与经验值相接近，避免测算结果误差过大。这种算法的出现，标志着中国人已经掌握了速度概念。在别的一些古籍中，也多处可见这类算法，表明这是古代常见的粗略测算距离的方法。

利用速度概念求解距离，其前提条件是测量者（或他人）须曾亲历待测之处，否则不能测知所用时间。此法实质是用对时间的测量取代了对长度的实测，通过简单计算转化为对长度的测量。因为对较大单位的时间的粗略测量易于实现（例如，以日为单位），因此这种方法的长处在于它的简便性。但在测量者无法亲历的情况下，这种方法就失效了。直接比较当然更不能使用，必须另觅蹊径。

古人的解决方法是借助于数学工具来扩展测量范围。他们所运用的数学工具主要是勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质。《周髀算经》开卷伊始就借周公之口向商高提问道：“夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度，请问数从安出？”商高回答说：“折矩以为，勾广三，股修四，径隅五，⋯⋯ 此数之所生也。”这里提到了矩。从史料及出土文物考证，矩是我国古代一种用途很广的制图和测量工具，很像现在的“拐尺”。矩边上有刻度，可直接用以画直线、直角、测量长度。商高提到“折矩以为”，是指用矩构成直

角三角形，利用勾、股、弦三者之间的关系确定被测物之数。文中给出的“三”、“四”、“五”，是勾股定理特例，但后文中有“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”显示《周髀》对于勾股定理的一般形式，也是掌握了的。

接下去，《周髀算经》列举了利用矩进行测量的基本方式：

“周公曰：大哉言数，请问用矩之道？商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。⋯⋯智出于勾，勾出于矩，夫矩之于数，其裁制万物唯所为耳。周公曰：善哉。”这里列举了

平、偃、覆、卧、环、合六种用矩方法，其中第一种用于准正，后两种用于

构形。我们测重于介绍中间三种。

先说偃矩。偃者，仰卧也，此处指股在下、勾直立以测高之法，如图 1 所示。ED 为待测物之高，则

ED = CB×DA

再说覆矩。覆者，倒也，将矩倒立以测深，如图 2 所示。DE 为待测之深，

则

DE = BC×DC

还有卧矩。卧者，平放也，是指测水平方向宽远之法，如图 3 所示。DE 为待测之物（例如河宽），则

DE = AB×CD

古人通过探索直角三角形性质，摸索出了一些对不可直接测量物的测量办法，因而喜出望外，感叹说：“智出于勾，勾出于矩，夫矩之于数，其裁制万物唯所为耳。”喜悦自豪之情，洋溢言表。

但是，偃矩、覆矩、卧矩都是用一次矩或表的简单测量方法，这种方法的使用有一定局限性，例如在图 1 中，如果不知道 DA 之长，则待测物之高ED 也是不可得知的。为此，古人发明了利用两次矩或表分别测量，并根据测得数据的“差”进行计算的方法。这种方法在古代叫做“重差术”。魏晋时刘徽在为其《九章算术注》所作的序中总结说：

“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差。勾股则必以重差为率，故曰重差也。”

即是说，“在测量中，凡是测望不知距离的目的物之高、深或远时，必然使

用重差术。”（白尚恕：《〈九章算术〉注释》，科学出版社，1983 年版，第 7 页）

接着，刘徽介绍了利用重差术测量日之高远的方法：

“立两表于洛阳之城，今高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，则日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为勾、股，为之求弦，即日去人也。”

刘徽介绍的这种方法，隐含着两个物理假设：其一，光行直线；其二，地形

为平的。在这两条假设之上，运用重差术，可求得日与地的垂直距离、日与测量者之间直线距离、日与测量者之间的水平距离。根据刘徽的描述，我们作图进行分析。如图 4，日位于图中 S 处，求日高 H、日与测量者（前表）之间水平距离 OA，直线距离 SB。刘徽所给出的公式若用图示符号表示则为：

H = AC·h + h ①

CD − AB

OA = AC·AB ②

CD − AB

刘徽并未说明他是如何得到这些公式的，但这些公式是正确的，这一点并不难证明。

得出了日高 H、日与测量者之间的水平距离 OA 以后，就可以利用勾股定理求出日与测量者之间的直线距离 SB 来，

SB = H ² + （OA + AB） ² ③

刘徽就是这么求的。

这里我们以刘徽对日之高远的计算为例介绍了重差术的应用。需要指出的是，重差术的出现是在刘徽之前，《周髀算经》、张衡《灵宪》、《淮南子》中都可以窥见重差术的影子，刘徽的贡献在于将这一命题理论化了，并且给出了明确的求解公式。他还撰写了《海岛算经》一书，详细讨论各种测望问题。在利用数学工具协助测量方面，刘徽功不可没。

总而言之，中国古代在进行长度测量时，除了直接比较方法以外，还广泛利用数学工具进行辅助测算。这些测算一般是通过利用直角三角形有关性质而得以实现的，由此也促进了定量几何学的发展，使之能够基本满足古代社会的测量需求。