三、直接消耗系数和完全消耗系数

（一）直接消耗系数

直接消耗系数是指生产单位产品对某一产业产品的直接消耗量。如果用aij 表示第 j 产业产品对第 i 产业产品的直接消耗系数、即生产单位 j 产业产品所消耗的 j 产业产品的数量，那么有：aij=xij/Xj 或 aijxi＝xij。

由实物型投入产出表可以确定实物直接消耗系数，由价值型投入产出表可以确定价值直接消耗系数。根据表 3.1 和表 3.2 中的数据，可以计算出全部直接消耗系数，它们可以排列成两个系数矩阵。

（

实物直接消耗系数矩阵

a 11



a 21

A＝



a n1

a12

a22

a n2

a1n 



a 2n 





a nn 

价值直接消耗系数矩阵

a 11



A＝a 21



a n1

a12

a22

a n2

a1n 



2n 





a nn 

价值型投入产出表增加了毛附加价值部分.类似地，可以计算出各产业单位产品的固定资产折旧，即固定资产折旧系数；单位产品的劳动报酬，即劳动报酬系数；单位产品的社会纯收入量，即社会纯收入系数。

D j

a pj表示j产业的固定资产折旧系数,a DJ = j = 1、2 n;

j

a vj 表示j产业的劳动报酬系数, a vj

= Vj j = 1、2 n; X j

a Mj 表示j产业的社会纯收入系数, aMj =

将直接消耗系数引入(3 − 2)式, 可得:

n

M j

j = 1、2 n;

j

∑aijX j + Yi

j=1

= Xi

i = 1、2 n (3 − 6)

写成方程组为

a11X1 + a12 X2 + + a1n Xn + Y1 = X1

a X + a X + + a X + Y = X

 21 1 22 2 2n n 2 2





a n1X1 + a n2 X 2 + + a nn Xn + Yn = Xn

也可以用矩阵形式表示为

AX + Y = X (3 − 7)

X1  Y1 

X  Y 

式中 X =  2 

X 

Y =  2 

 

 n 

Yn 

变换(3-7)式，得 Y=(I-A)X (3-8)

如果(I-A)矩阵的逆矩阵存在,则有

X=(I-A)-1Y (3-9)

式中 I 为 n 阶单位矩阵。

再将直接消耗系数引入(3-3)式，并且令Ni=Di+Vi+Mi,于是有

∑aij X j + Ni = Xi

j=1

写成方程组为

j = 1、2 n (3 − 10)

a11 X1 + a 21X1 + + a n1X1 + Y1 = X1

a X + a X + + a X + Y = X

 12 2 22 2 n2 2 2 2





a X + a X + + a X + Y = X

 1n n 2n n nn n n n

可以简写为

 n

(∑a j1 ) X1 + N1 = X1

 j =1

 n

(∑a j2 ) X 2 + N2 = X 2

 j =1





 n

(∑a jn ) Xn + Nn = Xn

 j =1

n

令Ci = (∑a ji ) 。因为 Ci 是 i 产业对所有产业中间产品的直接消耗系数

j =1

之和，故也称 Ci 为 I 产业的中间投入系数，或称劳动对象投入系数。上面两个线性方程组也可以写成矩阵形式

^

C X + N = X (3 − 11)

C1

0 0

 N₁ 

   

式中 ^ 0 C2 0

 N2 

C = 



0 0





C_n 

N =  

 

 n 

^

(2 − 11)式可以变换为

( I − C) X = N

(3 − 12)

1 − C1



0 0 



^

式中1 − C

n

0 1 − C2





0 0

0 





Cn 

n

∑ a ji j=1

• aDi* + *aVi* + *aM i* = 1,

∑aji = Ci

j=1

所以 1-Ci＝aDi＋aVi＋ami，i＝1、2⋯n。

也可以说，1-Ci 为 i 产业的毛附加价值占其总产值的比重，或称为毛附加价值率。（3-12）式反映了总产值与毛附加价值的关系，根据（3-12）式， 从总产值可以推导出毛附加价值。

^

（I- C ）是个对角矩阵，且 1-Ci＞0 i=1，2⋯n，

^ ^

故其逆矩阵（I- C ）-1 一定存在，（3-12）式两边左乘（I- C ）则有

^

X＝（I- C ）-1N （3-13）

由（3-13）式，由毛附加价值可以推导出总产值。

（二）完全消耗系数

直接消耗系数反映的是两个产业间的产品直接消耗关系。但一种产品对另一种产品的消耗不仅有直接消耗，而且还有间接消耗。例如生产汽车除了

直接消耗电力外，还同时消耗钢铁、轮胎、木材等产品，而生产这些产品也需要消耗电力，这是汽车对电力的第一次间接消耗。进一步分析，在炼钢、制造轮胎、采伐木材的过程中需要消耗生铁、焦炭、橡胶、工具和设备等产品，而生产这些产品也需要消耗电力，这就是汽车对电力的第二次间接消耗。这个过程还可以继续推导下去。一般来说，一个产品发生多少次间接消耗， 根据各产品工艺技术特点的不同而不同。

一种产品对某种产品的直接消耗和全部间接消耗的总和被称为完全消耗，相应地，直接消耗系数和全部间接消耗系数的总和就是完全消耗系数， 以 bij 来表示 j 产业产品对 i 产业产品的完全消耗系数。

我们可以汽车生产（设为 j 产业）对电力（设为 i 产业）的完全消耗为例来计算 bij，从前面的举例可以看出，汽车生产对电力的消耗有很多次， 如果用一次一次计算间接消耗的办法去确定完全消耗系数，需要的工作量太大以致于无法做到。但是，汽车生产对电力的直接消耗系数是容易计算的， 如果能找到完全消耗系数与直接消耗系数之间存在的某种相互关系，就能够比较简便地从直接消耗系数来推算出完全消耗系数。

根据这一设想，计算汽车生产对电力的完全消耗系数 bi 可以分为以下几步：第一步，假定所有产业时电力的完全消耗系数 bik＝1、2⋯n）已知；第二步，计算出汽车生产对所有产业的直接消耗系数 akj(k＝1、2⋯n),如汽车生产对某个产业没有直接消耗，则汽车生产对该产业的直接消耗系数为零； 第三步，计算出汽车生产通过直接消耗每个产业的产品而形成的对电力的全

部间接消耗系数 bik akj （k＝1、2⋯n），并把它们加总， ∑bik akj 就是汽车

k = 1

生产对电力的全部间接消耗系数；第四步，计算出汽车生产对电力的完全消耗系数 bij，

bij = aij

n

• ∑bik akj k =1

(i , j = 1、2

n) (3 − 14)

一般地说，（3-14）式对所有产业都是适用的。

（3-14）可以用矩阵形式表示

B＝A＋BA B-BA＝A

B（I-A）＝A （3-15）

如果（I-A）-1 存在，那么（3—15）式两边右乘（I-A）-1， B＝A（I-A）-1

B＝[I-（I-A）]（I-A）-1

B＝（I-A）-1-I （3-16）

式中 B 为完全消耗系数矩阵。