一、由“愤”、“悱”创设问题情境

古代教育家孔子说过：“不愤不启，不悱不发”。愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之貌。启，谓开其意；发，谓达其辞。教师在教学中要在充分了解学生的数学知识、能力水平的基础上，善于提出具有一定难度的挑战性的问题，让学生思考、探索、讨论，使所提出的问题学生急于想解决，但光利用已有的知识和技能却又无法解决，形成认识冲突，调动求知欲望，让学生在迫切需要下学习，此时，再经过教师的点拨、启发，使学生自己解决问题。这样，学生的思维得到锻炼，能力得到提高，充分体现了数学教学就是思维过程的教学思想。

如，教“等差数列的和”一课时，我是这样设计教学过程的：先通过教学家高斯在很小的时候计算“1+2+3+⋯+100”的故事引入新课，激发学生的学习兴趣。大多数学生能按下面的方法计算：1+2+3+⋯+100=101×50=5050。然后，进一步提出问题，若有奇数个连续的正整数相加，如 4+5+6+7+8+9+10， 也能恰好组成两两之和相等的几组吗？若不能，怎么办？这个问题有一定的技巧，让学生思考片刻进入愤、悱状态。教师提出问题后的等待，正是学生思维高度集中和认真思考的时刻。此时，教师用投影仪先打出堆放了七层的钢管，自上而下各层的钢管数为 4、5、6、7、8、9、10。再用投影仪打出倒放着同样的一堆钢管。最后把它们拉在一起，这样，每层的钢管数都相等。学生受到启发，用“倒序相加”的方法计算：S7=4+5+6+7+8+9+10

S7=10+9+8+7+6+5+4

两式相加，得2S7=（10+4）×7

(10 + 4) × 7

∴S7 = 2

当然，用“倒序相加”的方法也可计算 1+2+3+⋯+100。

上面，我们计算了一个具体的求等差数列的和。对于等差数列的和，是否有一个计算公式？若设 Sn=a1+a2+⋯+an （其中｛an｝是等差数列）。它的计算公式如何？先请同学们猜想一下。有的学生经过由特殊到一般的推

理方法，得，S = (a1 + a n ) ·n；还有一部分同学利用与梯形的面积公式类

n 2

比的推理方法，得S = (a1 + a n ) ·n。要说明公式是正确的必须证明，怎

n 2

样证明？ 学生用“倒序相加”的方法给出严格的证明。学生经过自己发现公式，验证公式，比单纯教师讲解，要理解得深，掌握得牢。

心理学原理告诉我们：思维过程通常是由于人们需要理解某种事物以及需要解决某种问题开始的。由于在教学中为学生设计了一环扣一环，环环紧扣自然流畅的问题，使他们经过自己的努力思考又能解决，学生心理上得到满足，尝到了甜头，增强了学习数学的自信心，发挥了他们在学习中的主动性、积极性，培养了学生分析问题、解决问题的能力。从求和公式与梯形的面积公式的推导过程看具有相似美。而结果具有统一美。在教学中应不失时机对学生进行“数学美”的教育，使抽象的数学问题变得趣味无穷。激发了学生的学习兴趣。