八、几何问题的代数化

以上所举例子都是数量关系问题转化成图形性质来讨论的，能否合理运用“形”向“数”的转化或变更的策略来解决一些几何问题呢？下面举一例来说明。

例 7 如图，过正方形 ABCD 的顶点 C 任作一直线与 AB、AD 的延长线分别交于 E、F。求证：AE+AF4≥AB。

分析：这是“形”的问题，但要直接从“形”入手很棘手。引导学生将结论变为（AE+AF）²-4AB（AE+AF）≥0，

从此式形式上看，联想起一元二次方程根的判别式，从而把“形”的问题转化成“数”的问题来解决。

证：设 AB=a，AE=m，AF=n.连结 AC，则 S△AEF=S△AEC+S△AFC，即

1 1 1

1. mn = 2 am + 2 an，∴mn = a（m + n），设m + n = p，则mn = ap，所以m、

n 是方程 x²-px+ap=0 的两根，而 m、n 为实数，故△=p²-4ap≥0，又 p＞0，

∴p≥4a，即 AE+AF≥4AB。

总之，引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度， 揭示问题的本质联系，从而解决问题。用“数”的准确澄清“形”的模糊， 用“形”的直观启迪“数”的计算。抓住数形转化的策略，沟通知识联系， 激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。