一、运用基本不等式来证明

①求证：lg8·lg12＜1

证明：∵lg8＞0，lg12＞0，

∴ lg8·lg12＜（ lg8 + lg12 ）² = （ lg 96 ） ²

2 2

而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.

说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大， 使不等式获证。

②求证：1＋ + +

1

＋ n ＞

n（n＞1）

证明：由基本不等式1 +

+ 1 + + 1 ＞n

n

∴1 + +

+ + ＞

1

= n_n 2 = = n ,

n n

n（n＞1）.

说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

③已知：a + b＋c = 3 2 a ²＋b² ＋c² = 3 ，求a、b、c.

2 2

解：

∵a2b2≥2ab（当且仅当 a=b 时，等号成立）

同理 a2+c2≥2ac（当且仅当 a=c 时，等号成立） b2＋c2≥2bc（当且仅当 b=c 时，等号成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当 a=b=c 时，等号成立）

∵由已知可得 a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，

∴a = b = c ∴a = b = c = 2 .

2

说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。