三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

①求证：

1

n + 1 +

1

n + 2 +

1

＋ 3n

＞ 19 （n＞2）

20

1 1 1 1 1 1 9 13 17

证明：①n = 3时不等式左边 = + + + + + = + +

5 6 7 8 9 20 42 72

＞ 19 ，不等式成立。

20

1

②假设n = k时 k + 1 +

证明：当 n=k+1 时，则得

1

k + 2

+Λ +

1 19

3k ＞ 20 成立（K＞2）

1

k + 2 +

1

k + 3

+Λ + 1 +

3k

1

3k + 1 +

1

3k + 2 +

1

3k + 3

1

= k + 1 +

1

k + 2

+Λ + 1

3k

1

+ 3k + 1 +

1

3k + 1 +

1

3k + 2

1

+ 3k + 3 −

1

k + 1

＞ 19 + 3

- 1 = 19 ，即n = k + 1时成立.

20 3k + 3 k + 1 20

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。

1

②设x₀ = 5 x_n+1 = x _n +

n

证明：由递推公式有：

（n≥0），求证x₁₀₀＞45.

2

k +1

= x ² + 2＋

1 （k≥0），

k

2

k +1

- x ² = 2＋

1 ＞2.

k

令k = 0、1、2、 n - 1，并把所有不等式相加，得x² - x² ＞2n.

2

100

n 0

＞2×1000＋x² = 2000＋5² = 2025＝45².

∴x100＞45.

本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。

以上例题足以说明，如果掌握了不等式证明的基本方法，并能巧用放缩

法，很多难下手的题型，就能找到解题途径，使不等式证明简化。诚然，要掌握放缩法必须掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。