发展数学要开拓基础山东省 崔培芳

数是数学的基础，随着数的扩展，数学的内容也就越来越丰富，越来越复杂。客观中的数是不可穷尽的。只有用确定的符号或算式把一些数表示出来时，这些数才进入数学领域。

由小学到大学的数学教材是数学史的一个缩影。

最初我们用“0、1、2、⋯⋯9”十个数字单独表示十个数。当然在远古时代世界各地区表示数的符号是不同的，但最初都是用一个符号表示一个数。以后发展成进位制表数法，可表示的数就无穷多了。表数除了使用单独符号如 e、π、｜x｜、[x]以外多数情况是借用一种算式，如 1236 实质上是1×103＋2×102＋3×10＋6，5/6 实质上是 5÷6 的结果。

运算经常受到表数法的限制，没有负数，3—5 就无法进行。没有循环小数或分数除法就不能进行到底，也就是当除不尽时无法把它的商准确地表示出来。当把数的范围扩展到有理数域的时候，四则运算才是通行无阻的（除数不为 0），但 x2=2 还是不能求解。只有用开方运算符号“√”表示出一批无理数时，x2=2 的结果才是准确的。虽然用小数可表其结果的近似值，但这是不完全的。当数扩大到实数范围时

x² = -1仍然是无解的，只有定义了虚数单位“

一元二次式也总能分解成一次的了。

− 1”，x² = -1才有了解，

用根号表示的一些无理数在无理数中只是微乎其微的一部分。要问 3x=2 中的 x 为何值？用根号就不易表示了，这时只能借助于对数式 x=log32 了。用对数式表示数使我们又得到一大批无理数，使一些运算得以通行。没有自

du

然对数∫ u 就不可积了，并且一大批积分无法进行。三角函数与反三角函

数又增加了一批无理数。sin 3的值是用根式或对数式不易表示的吧！没有反三角函数一大批积分也积不出来了。虽说是函数形式实质上是按照一种特定的对应方式用以前可能表示出来的数来表示另外一批数（当然也包含有以前的数）。每当表数法扩大了，本来不能进行的运算往往可以通行无阻。

再如幂级数。它也是一种表数法。关于正余弦幂级数的展开式把正余弦的值自然地用小数形式表现出来了。按照一种规律想精确到什么程度就精确到什么程度。

求方程 y″-xy=0 满足初始条件 y（0）=0，y′（0）=1 的特解，正是用了幂级数把解表示出来了。

a

用连分数表示数，正有理数总可表成连分数： b = q 0 ＋

1

1

q1 + 1

q2 + Μ

+ 1 q n

53

如： 37 = 1 +

1

2 + 1

1

53

记为 37 = [1，2，3，5]

3 + 5

对于正无理数可表成无限连分数，有的可表成循环连分数，这对于数值

逼近很有用处。如1 +

2

3 = [1，2，1， 2 ]1，2循环出现。

用函数值表无理数：设 P（x）为整系数多项式，用其表无限循环小数： 0、p （1）、p（2）、P（3）⋯⋯

当 p（x）=x 时，即为 0、1、2、3⋯⋯9、10、11、12⋯⋯ 当 P（x）=x2＋1 时，即为 0、2、5、10、17⋯⋯。

当方程的解来表数。用整式方程的解构造了可数集代数数，虽然这种形式不能用于解这些方程，但用一个标准给其归纳也便于讨论，使其从不可数集中分离出来。

关于质数集合，虽然能用基本的进位制记数法写它们，但要把它们从自然数集合中把它们分离出来是很困难的。人们总想用一个通式把它们表示出来，哪怕是其中无限的一部分也好。费尔马数 22n+1 未能如愿，因为它不能尽表质数。有人用二次函数表有限个质数。

如：f（n）=n2-n＋7 当 n=0、1、2⋯⋯16 时皆表质数， f（n）=n2－n＋41 当 n=0、1、2⋯⋯40 时皆表质数， f（n）=n2-n＋1601 当 n=0、1⋯⋯79 进皆表质数，

是否可以在这方面扩大呢？

n

美国数学家米尔斯证明存在一个数 A，它是大于 1 的非整数使得［A ］

当 n=0、1、2⋯⋯时皆为质数。但 A=？写不出来，但只要存在，虽摸不着它也可像研究微观世界那样去探讨它。

高斯数[x]，这个表数符号带来了许多问题与讨论的方便。数学竞赛的有些难题不正出自于它吗？eiθ这个数的表示法它把指数、三角函数、虚数、实数美妙地联系起来了。许多数学家创造了运算符号也创造了一些表数法， 表数法扩大了数学的基础。

五次方程没有求根公式，这恐怕是受到表数法的限制。它不能像三次四次方程那样用根式来表达其解。将来有朝一日在表数法上有所突破，或许公式是可以建立的。

表数法尤其是代数的基础，这方面可以把别的学科的特殊关系引用到数的对应关系上来。三角函数不就产生了几何的相似三角形吗？有数学物理方法，还有别的什么方法吗？

无限不循环小数是无理数，我们能拿这个定义去检验一个数是不是无理数，但不能拿无限不循环小数去表达任一个无理数。除非给其规定好各位上的数字发展规律。如

0.1010010001⋯⋯和上面提到的用函数形式规定其数字排列规律，但只要一定出规律这种表达的范围也就受到了极大的限制，即使在其规定的范围内能表无限多个数，但比起全体无理数来说仍然是微乎其微的。我们只能扩大表数的范围，但不能终极。就像我们在有限的时间内不能认识全部客观世界一样。

表数法的领域是宽广的，愿数学界的精英投入巨大的劳动，来共同拓展它。