（三）F 检验

F 检验（或 F 检定）（F test）是以数据的方差（变异数）分析为基础， 故又称方差分析（或变异数分析）。上面讲到的 t 检验法只能对两组的平均数加以比较，而方差分析法却能对二组和二组以上的平均数加以比较。这在研究工作中是常遇到的情况。把实验个体完全随机地分配到几组中，各组分别用不同的处理法进行实验，所得到的数据是单因素的，可是在这个因素中却包含好几个水准，每种处理代表一个水准。这些水准有时是选择型的（固定的），有时候是随机型的（非固定的）。

F 检验的功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。

  1. 方差分析的基本原理方差分析（或变异数分析） （ analysis ofvariance，简称 ANOVA）是一种应用非常广泛的变量分析方法，它乃是用试验结果的观察值与其平均值之差的平方和，来分析某些因素对试验结果是否有显著影响。设所考察的因素为 A，把 A 的变异分成 b 个等级，每一等级重复 a 次试验，以 Xij 表示第 j 个等级第 i 次试验的观测值（指标），于是得到单因素分析的一个子样，容量 n＝ab，见表 2-21：

a

表中 ΣTj = ∑ X ij

i=1

X j = Tj / a

( j = 1, 2, , b)

b  a 

T = ∑Tj X = ∑ X j / b

j=1

 j= 1 

实际上X是n＝a×b个Xij 的总平均数。

b a

∑∑Xij

X = i =1

j=1

ab

[公式

2 − 13]

b a

若∑∑(Xij j=1 i =1

  • X)2 称为离差平方和，可以证明下列分解式成立：

b a b a b

∑∑(X ij j=1 i=1

− X) 2 = ∑∑(X

j=1 i=1

− X) 2 + a∑( Xj − X) 2 `

j=1

上式等号右端第一项为各组（同一等级的数据构成一组）内部离差平方i0。第二项为组与组间的离差平方和，即：

b a 2

S总 = ∑∑(X ij − X) [公式

j=1 i=1

2 − 14]

b a

而 S误

= ∑∑(X ij j=1 i=1

b

  • X j )2

[ 公式

2 − 15]

S = a∑(X − X j) 2

j=1

[公式

2 − 16]

则上式分解式就是 S 总=S 误+SA。此式说明围绕总共平均值的波动值 S 总由两部分组成，一部分表示偶然误差引起的数据波动值 S 误，另一部分为因素取不同等级引起的数据波动值 SA。

有了上述各等式，我们就可进行 F 检验。为了检验因素 A 的不同等级对试验结果的影响是否显著，我们只要比较 S 误和 SA 的大小就行了。设所考察的指标的母体服从常态分布，可以证明变量：

SA

F = b − 1

A S误

b×(a − 1)

[公式

2 − 17]

这样，服从自由度 nA=b-1，n′误=b（a-1）的 F 分布。显著性检验方法是先用表 2-21 的数据按上式算出 FA 的值，然后取一定的信度 d，例如取信度 d=5％（或者 1％），查 F 分布表，找出信度为 d’自由度为 nA，n 误的 F 值为：Fd（n′ ，n′ ），若是 F ＞F （n′ ，n′ ），就以 1- d（95％或者 99％）的把握断定因素 A 是显著的；若是 FA≤Fd（n′A，n′误），就不能认为因素 A 等级的变异对试验结果有显著影响。

以上我们介绍了 F 检验的基本原理，下面我们就可以讨论 F 检验的几种情况了。

  1. 单因素方差分析 只考虑一个因素的变异对试验结果是否有显著影响的问题，就是单因素方差分析（simple factor analysis of variance）的问题。进行 F 检验法时，常将实验数据列成下列方差分析表，计算起来比较方便（见表 2-22）。