关于圆周率的计算

祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元 1 世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周

率是3.1547。2世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝ 730

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≈3.1466，又在球体积计算中取用π＝ 10≈3.1622。三国时东吴天文学

家王蕃在浑仪论说中取用π＝ 142 ≈3.1556。以上这些圆周率近似值，比起

古率“周三径一”，精确度有所提高，其中

π＝ 10还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠

的理论依据。在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽。他

在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理

论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝ 157 ＝3.14与π＝ 3927

50 1250

＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，π 的真值在这两个近似值之间，即

3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的

数学成果，直到约一千年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—

)

kash1）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。关

于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必

须求出圆内接正 12288 边形的边长和 24576 边形的面积，这样，就要对 9 位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似

值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝ 22

≈3.14，密率π＝ 355 ≈3.1415929。这两个数值都是π的渐近分数。其113

中约率 22 ，刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率

355 是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率

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355 是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方

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程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝ 355 是16世纪由

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德国数学家奥托（V.Otto ，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹

（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到

世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之

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的杰出贡献。