关于球的体积公式及其证明

祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。

但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于V＝

9 d 3

（d 为球的直径），是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体积，但没有得到正确的结果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶ 4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”，好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）。因此，只要求出牟合方盖体积，就可推算出球体积。然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度。以后又经过近 200 年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破。祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等

于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于 2 d ³

（d为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式V 1 d ³，

＝ 6 π

完全解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率 22 ，所以他们的球体

积公式为V＝ 11 d ³。祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了

一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。这个原理现常被称为“祖氏公理”。在西方，这个原理也是一千年后才由 17 世纪意大利数学家卡瓦列里

（F.B.Cavalieri，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”。这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。

《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①。据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容。祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了。