第三节 球体积公式

球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式

相当于V = 9 d 3（d是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾

16

经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4 的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步， 但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。

祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于 2 d 3，从而得到正确的球体积公式

3

V = 1 πd3，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π = 22 ，

6 7

因此他们的球体积公式为V = 11 d 3。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的

21

过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，17 世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步。