第四节 大系统理论及其应用

本世纪 70 年代以后，控制论的研究对象已经从简单系统发展到更加复杂的大系统。对于大系统来说，由于其变量众多、结构复杂，因而经典控制论的传递函数法和现代控制论的状态空间法已经不能完全适用了。在这种情形下，大系统理论也就应运而生了。目前，处理大系统的主要方法有：分解- 协调原理，分散最优控制，多级递阶控制，大系统模型降阶理论，向量李雅普诺夫稳定性理论等。本节，我们拟结合国内有关学者的研究成果，对大系统理论及其在地理系统调控中的应用作一简单的介绍。

一、大系统理论简述(一)大系统的概念

什么是“大系统”？这是一个至今尚未给出确切回答的问题。一般说来， 人们总是认为，规模庞大、结构复杂的系统是大系统。譬如，现代化大型企业管理系统，大的区域性或全国性的电力网络管理调度系统，国民经济计划管理系统，城市生态系统，区域农业生态系统，等等。

(二)大系统理论的主要研究内容

目前，大系统理论还正处于发展阶段，其主要的研究内容可以概括为如下两个方面：

1. 大系统分析与建模 大系统分析，就是对系统的技术性能、经济指标、社会效果、生态环境影响等进行分析，作出评价；对系统现有的运行状态进行观测与估算；对系统未来的发展动态与趋势进行预测与模拟；对系统的环境条件及其变化进行观测与分析等等。大系统分析的目的是寻求改进现有系统或筹建新系统的方法，为系统方案的选择与制定决策提供依据，从而实现大系统管理、控制、运行的最优化。

为了进行系统分析，需要建立模型。大系统分析采用的模型是多种多样的，譬如，用来描述系统的动态及静态特性、性能指标、运行状态的数学模型；用来表示信息流与物质流、时间顺序、逻辑关系等相互联系的网络图模型；用来模仿实际系统的物理过程、运行状态、生理或心理活动的技术模型等等。

1. 大系统综合 大系统综合，就是在大系统分析的基础上，按系统构成要素之间的相互关系，各级子系统之间的联结规律，彼此逐级联结起来，形成从简单到复杂，从低级到高级的大系统的过程。其任务就是要对尚待筹建的大系统进行决策、规划与设计，对大系统的筹建过程与实际运行过程进行科学的计划协调与组织管理，根据大系统的总任务与总目标，选择设计方案， 确定控制策略，制定管理方法，解决大系统的优化设计、优化控制和优化管理问题。

二、大系统的结构方案(一)多级递阶结构方案

多级递阶控制方法是一种受到广泛注意的大系统结构方案。以三级递阶结构为例，其结构方案如图 8-4 所示。

在图 8-4 中，第一级为局部控制级(最低决策层)，它直接控制大系统的各个局部对象或过程；第二级为递阶控制级(中间决策层)，它对第一级的各控制机构进行协调控制；第三级为协调控制级(最高决策层)，它对第二级进

行协调控制，根据大系统的总目标，通过递阶结构，完成大系统的控制任务。(二)多层控制结构方案

多层控制方案的特点是按任务或功能分层。较高层的任务功能较复杂， 自扰动因素变动较慢；较低层的任务功能简单，自扰动因素变化较快。各层之间的关系具有“分工”性质，上下层之间也有隐含的“支配”与“被支配” 的关系。这种结构具有纵向的信息交换，除了由上层到下层的信息交换之外， 还有从受控对象或过程到各层的反馈信息(如图 8-5 所示)。

在图 8-5 中，第一层为直接控制层，其功能是根据最优控制层的指令， 直接控制受控对象或过程的运行状态，克服快变化的影响；第二层为最优化层，其功能是根据给定的目标函数、约束条件及系统的数学模型，进行最优控制；第三层为自适应层，其功能是根据对象特性或运行情况变化，对最优化层的目标函数、约束条件及数学模型进行适当的修正，以保证系统最优运行状态；第四层为自组织层，其功能是根据大系统的总目标与总任务，考虑环境变化的条件，制订决策、计划协调与组织管理。

(三)多段控制结构方案

多段控制结构方案的特点，是按受控过程的时间分段，根据受控过程的时间顺序，将全过程划分为若干段，每一段形成一个小系统。不过，这里的协调段按衔接条件进行协调，它把前段终点边界条件与后段初始边界条件衔接起来，完成全过程的控制任务。相邻的各段控制小系统之间通过协调段与受控对象具有横向信息交换，上下级之间也有纵向的信息交换(如图 8-6 所示)。

三、大系统的分解与协调

在复杂的大系统控制过程中，为了保证系统优化控制策略的实现，常常需要依据大系统理论的分解协调原理，将系统的总目标和总模型分解为子目标和子模型，并根据于目标和子模型的相互作用以及外部环境与约束条件的变化，来反复协调各个子目标和子模型的关系，以至调整大系统的总目标和总模型。

(一)大系统分解

大系统分解的基本思想是在优化过程中，先将高阶大系统划分为若干个低阶子系统，然后再用通常的优化方法使各个子系统优化。大系统分解时， 需要解决两个问题，一是目标函数(性能指标)的分解；二是模型关联的分解。而实际上，常见的情形是大系统最优化的总目标是可以分离的，例如大系统的目标函数是各个子系统的目标函数之和；而系统的模型是相互关联的，例如子系统的状态变量之间存在着相互影响。因此，大系统分解主要是解决系统模型关联的分解问题。下面我们以线性大系统为例说明之。

考虑具有二次性能指标的线性大系统，其状态方程与输出方程如下：

x(k + 1) = A x (k) + Bu(k)

y(k) = C

x(k)

(1)

式中 x(k)为 n 维的状态变量；

u(k)为 m 维的控制或输入变量； y(k)为 r 维的输出变量；

A，B，C 分别为 n×n，n×m，r×n 的常数矩阵。此大系统的总目标函数是：

k _j

J = ∑[y(k) ^r Qy( k) + u(k) ^T Ru(k)] (2)

k= 0

式中，Q、R 皆为常数矩阵；kf 为终止时间。

设 B、C、Q、R 皆为对角形分块矩阵，即它们分别具有以下形式：

B₁



B = 



0 



B2 

Ο 



C₁



C = 



0 



C2 

Ο 



 0 B_N  0 C_N 

Q₁



Q = 



0 



Q2 

Ο 



R₁



R = 



0 



R2 

Ο 



O Q_N 

相应地，把 A 也写成如下的分块形式：

O R _N 

A 11



A = A 21

A 12

A 22

A 1N 



2N 

 Μ Μ Ο Μ 

 

A N1

AN 2

ANN 

上述这一系列假定，实质上是说，大系数(1)式中的各子系统只通过状态变量发生联系，而大系统的总目标函数是可分解的，它可以表示为

N

J = ∑Ji

j=1

(3)

其中 N 为子系统的数目，各子系统的目标函数分别为

k _j

J = ∑[x (k) ^T C^TQ C x (k) + u ^T (k)R u

(k)]

ⁱ 2 k = 0 i

i i i i i i i

i=1，2，⋯，N (4)

大系统的状态方程(1)式可分解为：

 N

xi (k + 1) = Aii xi (k) + Bi ui (k) + ∑Aij x j (k)

 j=1

(5)

y (k) = C x (k) i = 1，2， ，N

 i i i

由上述分析可以看出，就目标函数而言，我们已经把总目标函数分解成了 N 个子系统的目标函数之和，从而能够把 N 个子系统的目标函数分离出来。

现在的问题是怎样处理状态变量之间的关联项∑Aijx j (k)，我们才能获得N

j=i

个子系数的相对独立的状态方程。解决这一问题，主要有下面两种方法： 1.非现实法 这种方法的基本思想是引入一系列的伪变量来描述状态变

量关联的影响从而达到企图“切断”各子系统之间的模型关联的目的，在(5) 式中令

mi = ∑A ij x j j=i

xi (k + 1) = Aii x i (k) + Bi ui (k) + mi (k)

则有 y (k) = C x (k)

(6)

 i i i

于是原大系统的最优化问题就变成了根据无关联的状态方程(6)式在附加约束条件

mi (k) = ∑Aij x j (k)

j=i

i = 1，2， ，N (7)

之下，求控制策略 u(0)，⋯，u(kf-1)，使

J = ∑Ji i=1

取最小值。

为了求解上述问题，我们用拉格朗日乘子将约束条件(7)式引入到目标函数中，于是得出修正后的大系统目标函数：

N k j 1

J* = ∑∑ x^T (k)C^TQ C x (k) + u^T (k)R u (k)]

i=1 k =0 2 i

 N

i i i i i i i

 N

+ λ ^T (k) ∑A x (k) − m (k) = ∑J^*

(8)

i

 j=i

ij i i



i

i =1

此处，J^*是子系统修正后的目标函数，具体地说：

J ^* =

k _j

∑[ x^T (k)C^T ( K)C^TQ C x

(k) + u^T ( k) R u ( k)]

i 2 k =0 i i

k j  N

i i i i i i i



+ ∑λ^T ( k)∑A x

(k) − λ^T ( k) m (k) i = 1，2， ，N (9)

k=0 

j=i

ij j i

这样就可以把大系统分解成为 N 个子系统，于是即可分别对每个子系统进行最优化运算。

2.现实法这种分解方法，不是假想“切断”模型关联，而是将状态变量的关联设置为某些预估值，即置

Aij x j (k) = mij (k) i≠j i = 1，2， ，N

j = 1，2， ，N (10)

且令：

φi (k) = ∑m ij (k)

j=i

i = 1,

2, , N

(11)

把这样的φi；代入(5)式中，可在形式上把大系统状态方程(1)式分解成 N 个独立的子系统状态方程的联合形式：

xi (k + 1) = Aii xi (k) + Bi xi (k) + φ i (k)

y (k) = C x (k)

(12)

 i i i

i = 1, 2, , N

考虑到预估关联的关系式是作为约束而出现的，自然可利用拉格朗日乘子，把约束条件引到目标函数之中，于是得到修正的大系统目标函数为：

N

^* (13)

i =1

(13)式中，J^*是子系统修正的目标函数，具体地有：

J ^* =

k _j

∑[x^T ( k)C^TQ C x

(k) + u^T (k)R u ( k)]]

ⁱ 2 k= 0 i

k j N

i i i i i i i

+ ∑∑[λ^T (k)A x

(k) − λ^T (k)m

( k)]

ij

k= 0 j=i

ij j ij ij

i = 1, 2, , N

(14)

这样，根据低阶的状态方程(12) 式和分离的目标函数(14)式，把λ

_ij(k)，mij(k)看成是待定的参量，可用通常方法求得子系统的局部最优解。

(二)大系统协调

作为大系统优化的第二步，就是协调，即在分解后各子系统局部优化的基础上，使总目标函数极大(小)化，以实现大系统的全局优化。在协调过程中，首先需要解决的是协调原则问题，即根据什么原则，对各个子系统进行协调控制。在大系统的分解协调理论中。最基本的协调原则有关联平衡和关联预估原则。这两种协调原则，都是按协调偏差所进行的反馈闭环控制，只是所选择的协调变量不同而已。

综上所述，大系统的多级优化控制。一般地分两个步骤进行。第一步为系统分解，即用非现实法和现实法把大系统分解为若干低阶子系统，进行局部优化。第二步为系统协调，即用关联平衡原则或关联预估原则，按协调偏差进行反馈控制，以实现大系统的全局优化。当然，这两步是不能截然分开的，而是反复进行的统一过程。

四、大系统理论的应用举例

作为大系统理论在地理系统优化调控中的应用实例，下面我们来介绍汤兵勇先生等(1990)所研制的吉林市水污染控制规划模型。

(一)数学模型

根据松花江段环境标准，按 90％频率，吉林市 BOD5 总削减量为 85.36 吨，集中于五个主要处理厂。在该污水处理系统进行削减量分配，以使经济费用最小，所提出的优化问题数学模型为：

 5

minF = ∑C x²

 i=1

 5

∑wi xi = 85.36

 i=1

0≤x i ≤bi



(i = 1，2，3，4)

(15)

吉林市现有及正在设计的污水处理系统技术经济情况见表 8-1。

由于吉林化工综合污水处理系统已建成，故其削减量和投资运行支出费按设计数值选择，则上述数学模型可改写为

 4

minZ = ∑C x²

 i=0

 4

∑wi xi = 50.5

 i=1

(16)

0≤xi≤b





(i = 1，2，3，4)

(二)二级递阶分解协调的计算格式

利用拉格朗日乘子法，按 xi 分解模型：

4  4  4

L(x, λ) = ∑C x² + λ∑w x − 50.5 = ∑L

(17)

i i

i=1

i i

i=1

i

i= 1

(17) 式中，L = C x ² + λw x - 12.625λ(i = 1，2，3，4) 于是，我们得到

i i i i i

四个带有参数λ的子系统，其选取拉格朗日乘子λ作为协调量，问题的优化可通过一个二级递阶分解协调的方式来完成。

第一级：分别对四个子系统(即对吉林造纸厂、吉林九站造纸厂、吉林化纤厂以及城市