第一节 模糊数学基本知识简介

一、模糊子集及其运算

在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，⋯⋯，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。

(一)模糊子集及其表示方法1.模糊子集

(1)隶属函数：在经典集合论中，一个元素 x 和一个集合 A 之间的关系只能有x∈A或者x ∉A这两种情况。集合可以通过其特征函数来刻划，每一个集合 A 都有一个特征函数 CA(x)，其定义如下：

1 当x∈A

C_A ( x) = 0 当x ∉A

(1)

(1)式所表示的特征函数的图形，如图 9-1 所示。由于经典集合论的特征

函数只允许取 0 与 1 两个值，故与二值逻辑｛0，1｝相对应。

模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：

0≤μ(x)≤1 (2)

1. 式也可以记作μ(x)∈[0，1]，一般情形下，其图形如图 9-2 所示。

2. 模糊子集的定义：1965 年，查德首次给出了模糊子集的如下定义： 设 U

   是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围)，μA：x→[0，1]是 U 到[0， 1]闭区间上的一个映射，如果对于任何 x∈U，都有唯一的μA(x)∈[0，1]与之对应，则该映射便给定了论域 U 上的一个模糊子集 ，μA 称做 的隶属函数，μ_A(x)称做 x 对 的隶属度。

2.模糊子集的表示方法 通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。因此，模糊子集通常有以下几种表示方法：

(1)如果论域U是有限集时，可以用向量来表示模糊子集 A 。一般地，若

～

论域为U = ｛x1 ，x2 ， ，x n ｝，则模糊子集 A 可表示为：

～

=[μ1，μ2，⋯，μn] (3)

在(3)式中，μi∈[0，1](i=1，2，⋯，n)为第 i 个元素 xi 对 的隶属度。(2)查德表示方法：①如果论域 U 是有限集时，采用查德记号可以将模糊

子集 表示为：

A = μ1

～ x1

• μ 2

x2

• + μ n

xn

= μi i=1 xi

(4)

应该注意，(4)式的记号决不是分式求和，而只是一个记号而已，其“分母” 表示论域 U 中的元素，“分子”是相应元素的隶属度，当隶属度为 0 时，那一项可以不写入。②如果论域 U 是无限集时，采用查德记号可以将模糊子集

表示为：

A = ∫

μ A (x) / x

(5)

～ x∈U

在(5)式中，“积分号”不是普通的积分，也不代表求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的一个总括。

(3)如果给出了论域 U 上的模糊子集 的隶属函数的解析表达式，则也就表示出了模糊子集 。

(二)模糊子集的运算及其性质

1. 模糊子集的运算 论域 U 上两个模糊子集 和 B 之间的相等、包含关系及并、交、补运算，分别规定如下：

   1. A = B ⇔ μ A (x) = μ B (x)

～ ～

(2) A = Φ ⇔ μA (x) = 0

～

∀x ∈U

∀x ∈U

(3) A ⊆ B ⇔ μA (x) ≤μ B (x)

∀x ∈U

～ ～

(4) A ⇔ μ⁻ (x) = 1 − μ

(x)

∀x ∈U

～ A A

1. A Υ B ⇔ μ A ΥB (x) = max{μ A (x), μ B (x)}

～ ～

= μ A (x)∨μ B (x) ∀B ∈U

1. A Ι B ⇔ μA Ι B (x) = min{μ A (x), μ B (x)}

～ ～

= μ A ( x)∧μ B ( x)

∀x ∈U

上述记号“∨”和“∧”是运算符号，简称为算子，“∨”表示取最大值，“∧”表示取最小值

1. 模糊子集运算的基本性质 对于模糊子集的运算，它具有如下几个基本性质。

(1)幂等律： ∪=，A∩A=A

(2)交换律： ∪ = ∪ ， ∩ = ∩

(3)结合律：( A Υ B ) Υ C = A Υ( B Υ C )

～ ～ ～ ～ ～ ～

( A Υ B ) Ι C = A Ι ( B Ι C )

～ ～ ～ ～ ～ ～

(4)吸收律： A Υ( A Ι B ) = A

～ ～ ～ ～

A Ι ( A Υ B ) = A

～ ～ ～ ～

(5)分配律: A Υ( B Ι C ) = ( A Υ B )( A Υ C )

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

A Ι ( B Υ C ) = ( A Ι B ) Υ( A Ι C )

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

1. 对合律： A = A

～ ～

1. De Morgan法则： A Υ B = A Ι B

～ ～ ～ ～

A Ι B = A Υ B

～ ～ ～ ～

1. 常数运算法则: A ΥU = U A Ι U = A

～ ～ ～

二、模糊子集的α-截集及其性质(一)模糊子集的α-截集

定义：设是论域 U 上的一个模糊子集，其隶属函数为μA，x 对 的隶属度为μA(x)。对于任-α∈[0，1]，称集合

_α=｛x｜μA(x)＞α，x∈U｝ (6)

为 的强α-截集；称集合

A a = ｛x｜μ A (x) ≥α，x∈U｝

～

为 的弱α-截集。

有时也将强α-截集与弱α-截集统称为α-截集。(二)模糊子集的α-截集的性质

模糊子集的α-截集，具有下述几个基本性质：

(7)

(1)若α≤β，则β ⊆ A α ， Aβ ⊆Aa

～ ～

(2)对于任意α∈［0，1］，都有：

Aa ⊆ A

～ ～

(3)对于任意α∈［0，1］，都有：

( A Ι B ) a = Aa Ι Ba , ( A Υ B ) a = A ΥB

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

(4)对于任意α∈[0，1]，都有：

( A Ι B ) a = Aa Ι Ba , ( A Ι B ) = A Ι

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

(5)

Υ

α＜β

A β = A α ,

～ ～

Ι

α＞β

A = A

α α

～ ～

(6) Ι

A = A ,

α

Ι A = A

β α

α＞β

～ ～ ～ ～

(7) A =

～

Υ

α∈[0,1]

α· Aα

～

(8)

在(8)式中，α· Aα 为模糊子集，其隶属函数为

～

a

μ ( x) = 





当x ∈Aα

～

当x ∉Aα

～

三、模糊关系与模糊变换(一)模糊关系

1. 模糊关系的概念 模糊关系，是一般关系的推广，其定义如下：设 U 和 V 是两个普通集合，U 与 V 的直积

U×V=｛(x，y)｜x∈U，y∈V｝

上的一个模糊子集 R 便称为U到V上的一个模糊关系。若(x，y) ∈U×V，

～

则称μR(x，y)为 x 与 y 具有关系 R 的程度。一般地，μR(x，y)也可以记

为 R (x，y)。特别地，当U = V时，则称R为U中的模糊关系。

～

当U和V为有限集合时，模糊关系 R 可以用矩阵表示为：

～

R = ( r

 r11



) =  r21

r12 r22

r1n 



r2n 

～ ij m×n





 m1

rm2





mn 

在(9)式中，rij=μR(xi，yj)，rij∈[0，1]，i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯， n；m 为 U 中所含元素的个数，n 为 V 中所含元素的个数。(8)式所示的矩阵称为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵。

因为模糊关系就是集合 U 与 V 的直积 U×V 上的模糊子集，所以它的相等、包含、并、交、补等运算与模糊子集的概念和运算性质完全相同，这里不再作重复。下面介绍 U 中几个重要的特殊关系。

1. 恒等关系 I：

1

I ⇔ μ _I (x，y) = 0

当x = y

当x≠y

∀x,

y ∉U

1. 零关系 O：

O ⇔ μo (x，y) = 0 (3)全称关系 E ：

～

∀x，y∈U

E ⇔ μ E (x，y) = 1

～

∀x，y∈U

(4)转置关系或逆关系R^T ：

～

R^T ⇔ μ

～

^T (x，y) = μ

_R (y，x)

∀x，y∈U

1. 模糊关系的合成及其性质(1)模糊关系的合成

定义：设U、V、W是三个集合， R1 是U到V上的模糊关系， R 2 是V

～ ～

到W上的模糊关系，则称R1 οR 2 为关系R1 与R2 的合成，且规定它为U到

～ ～ ～ ～

W 上的模糊关系，其隶属函数为：

μR1 οR2 (x，z) = V[ μ R1 (x，y) ∧μ R2 (y，z)]

(2)模糊关系合成的基本性质

①结合律：(R1 οR2 ) οR3 = R1 ο( R2 οR3 )

～ ～ ～ ～ ～ ～

②I ο R = R οI = R

～ ～ ～

③O ο R = R οO = 0

～ ～

④若R1 ⊆ R2 ，则有：

～ ～

RοR1 ⊆ R οR 2 , R2 ο R

⑤( R οR ) ^T = R^TοR^T

～ ～ ～ ～ ～ ～

1 2 2 1

～ ～ ～ ～

⑥ R ο(R1 Υ R2 ) = ( R οR1 ) Υ( R οR2 ), ( R1 Υ R 2 ) ο R = (R1 ο R ) Υ(R 2 ο R )

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

⑦ R ο(R1 Ι R2 ) = ( R οR1 ) Ι ( R οR2 ), ( R1 Ι R 2 ) ο R = (R1 ο R ) Ι (R 2 ο R )

～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～

⑧( R Υ R )^T = R^T Υ R^T

1 2 1 2

～ ～ ～ ～

⑨( R Ι R )^T = R^T Ι R^T

1 2 1 2

～ ～ ～ ～

⑩( R^T ) ^T = R

～ ～

1. 模糊相似关系与模糊等价关系(1)模糊相似关系

定义：设 R 是U中的模糊关系，若它满足如下性质：

～

①自反性：∀x∈U，μR(x，x) = 1

②对称性：∀x，y∈U，μR(x，y) = μR(y，x) 则称 R 为U中的模

～

糊相似关系。

(2)模糊等价关系

定义：设R是U中的模糊相似关系，若它满足传递性，即∀x，y，z

∈U，V[μR(x，z)∧μR(z，y)]≤μR(x，y)，则称R 为 U 中的模糊等价关系。(二)模糊变换

定义：设 R 是一个给定的模糊矩阵

～





R = (r ) = 

r11 r21

r12 r22

r1n 

r2n 

(10)

ij m× n





 rm1

rm2





rmn 

在(10)式中，0≤rij≤1(i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n)； 是一个给定的模糊向量

=[a1，a2，⋯，am] (11)

在(11)式中，0≤ai≤1(i=1，2，⋯，m)。则称 与 的合成运算

B = [ b1 , b 2 , bn ] = A ο R

～ ～ ～

 m M m 

= V(ak ∧rk1 ), V (a k ∧rk2 ), , V (a k ∧rkn ) 

(12)

k =1

k= 1

k= 1 

为模糊变换。显然，在(12)式中，有 0≤bj≤1(j=1，2，⋯，n)。