表 2-19 某地区 1990—2000 年农业收成状态概率预测值

（二)终极状态概率预测

经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率，或称平衡状态概率。如果记终极状态概率向量为π=[π1，π2，⋯，πn]，则

π = lim π （k） （i = 1，2， ，n） （9）

k→∞

即：

π = [ lim π1（k）， lim π 2 （k）， ， lim π n （k）]

k →∞

= lim π（k）

k→∞

按照极限的定义可知：

k →∞

k→∞

(10)

lim π（k） = lim π（k + 1） = π （11）

k→∞ k→∞

将（11)式代入马尔可夫预测模型的递推公式（8)式得

lim π（k + 1） = lim π（k）P

k→∞

即：

k →∞

π=πP （12)

这样，就得到了终极状态概率应满足的条件：

（1)π=πP

（2)0≤πi≤1（i=1，2，⋯，n)

（3）∑ πi = 1

i=1

以上条件（2)与（3)是状态概率的要求，其中，条件（2)表示，在无穷多次状态转移后，事件必处在 n 个状态中的任意一个；条件（1)就是用来计算终极状态概率的公式。终极状态概率是用来预测马尔可夫过程在遥远的未来会出现什么趋势的重要信息。

在前例关于某地区农业收成状态概率的预测中，设终极状态的概率为π

=[π1，π2，π3]，则

0.2000 0.4667 0.3333

[π ，π ，π

] = [π ，π ，π 

0.1538 

_{1 2 3 1 2 3} ]0.5385 0.3077

0.3636 0.4545 0.1818

即

π1 = 0.2000π1 + 0.5385π2 + 0.3636π 3



π2 = 0.4667π1 + 0.1538π 2 + 0.4545π 3

(13)

π = 0.3333π + 0.3077π + 0.1818π

 3 1 2 3

求解方程组（13)式得：π1=0.3653，π2=0.3525，π3=0.2799。这说明， 该地区农业收成的变化，在无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态出现的概率都将大于“欠收”状态出现的概率。

在地理事件的预测中，被预测对象所经历的过程中各个阶段（或时点) 的状态和状态之间的转移概率是最为关键的。马尔可夫预测的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势。马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此， 必须具有足够多的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最为基本的条件。