表 2-3 1985 年全国各省（市，区)总人口与社会总产值

表 2-4 等级相关系数检验的临界值

平，表中的数值为临界值 ra。在上例中，n=29，表中没有给出相应的样本数下的临界值 ra，但我们发现，在同一显著水平下，随着样本数的增大， 临界值 ra 减少。在 n=28 时，查表可知：r0.05=0.317，r0.01=0.448，由于 r

′xy=0.726＞r0.01=0.448，故 r′xy 在 a=0.01 的置信水平上是显著的。二、多要素间相关程度的测定

（一)偏相关系数的计算与检验

地理系统是一种多要素的复杂巨系统，其中一个要素的变化必然影响到其它各要素的变化。在多要素所构成的地理系统中，当我们研究某一个要素对另一个要素的影响或相关程度时，把其它要素的影响视为常数（保持不变)，即暂不考虑其它要素的影响，而单独研究那两个要素之间的相互关系的密切程度时，则称为偏相关。用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。

1. 偏相关系数的计算

偏相关系数，可利用单相关系数来计算。假设有三个要素 x1，x2，x3， 其两两间单相关系数矩阵为

r11

R = 

r12

r13  1

 

r12

r13 



r21

r22

r23  =  r21

1 r23 

r31

r32

r33  r31

r32 1 

因为相关系数矩阵是对称的，故在实际计算时，只要计算出 r12，r13 和 r23 即可。在偏相关分析中，常称这些单相关系数为零级相关系数。对于上述三个要素 x1，x2，x3，它们之间的偏相关系数共有三个，即 r12·3，r13·2，r23·1

（下标点后面的数字，代表在计算偏相关系数时，保持不变量，如 r12·3 即表示 x3 保持不变)，其计算公式分别如下：

r12 ·3 =

r12 − r13 r23

(1 − r ² )(r − r ² )

(5)

13 23

r = r13 − r12 r23

(6)

13·2

(1 − r ² )(1 − r ² )

12 23

r23 - r12 r13

23·1

(7)

式（5)—（7)表示三个偏相关系数，称为一级偏相关系数。

若有四个要素 X1，X2，X3，X4，则有六个偏相关系数，即 r12·34，r13·24， r14·23，r23·14，r24 ·12，r34·12，它们称为二级偏相关系数，其计算公式分别如下：

r12 ·3 − r14· 3 r24 ·3

r12 ·34 =

2

14·3

)(1 − r ²

(8)

)

r13·24 =

r13·2 − r14 ·2 r34 ·2

(9)

r14 ·2 − r13·2 r43·2

r14 ·23 =

2

13·2

)(1 − r ² )

（10）

r23·1 − r24·1T34·1

r23·14 =

2

24·1

)(1 − r ² )

（11）

r24 ·1 − r23·1T43·1

r24·13 =

2

23·1

)(1 − r ² )

（12）

r34·12 =

r34·1 − r32·1T42 ·1

（13）

在式（8)中，r12·34 表示在 x3 和 x4 保持不变的条件，x1 和 x2 的偏相关系数，其余式（9)—（13)依此类推。

应所考虑的要素多于四个时，则可以依次考虑，计算三级甚至更多级偏

相关系数。

假若，对于某四个地理要素 X1，X2，X3，X4 的 23 个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：

r11

r12

r13

r14  

1 0.416 0.346 0.579 

r r r r 

0.416 1

− 0.592 0.950

R =  21 22 23 24  =  

r31



r32

r33

r34 



 − 0.346



− 0.592 1

− 0.469 



r41

r42

r43

r44 

 0.579 0.950

− 0.469 1 

为了说明偏相关系数的计算方法，现以（14)式中的单相关系数为例，来计算一级和二级偏相关系数。为了计算二级偏相关系数，需要先计算一级偏相关系数，由（5)式可求得

r12 ·3 =

r12 − r13r23 =

= 0.821

同理，依次可以计算出其它各一级偏相关系数，见表 2-5。