第二节 地理系统动态的控制论描述

地理系统是一类动态系统，它的状态是在不断地变化的。对于这样一类动态系统，我们所关心的问题之一是其动态过程是怎样进行的？其未来状态是否可以预测？这一过程是否可以调控？这些问题的回答都依赖于人们对地理系统的认识程度，而对地理系统动态过程的描述就是人们对其认识程度的一种反映。本节，我们将从控制论角度出发，探讨地理系统动态过程的描述问题。

一、传递函数法

（一)地理系统动态的框图模型

根据经典控制论，为了研究上的方便，对于一个复杂的地理系统，我们可以撇开它们与系统调控过程无关的具体内容，把整个系统划分为许多的控制环节，每一个环节都代表一个实际过程，然后再将每一个环节按其相应过程的输入-输出关系联接起来，这样就得到一个实际系统简化了的框图模型。譬如，对于农田生态系统，基于目前人们认识世界和改造自然能力的限制， 人类对它的调控还只能局限于播种、施肥、灌溉、使用农药等措施上。因此， 对于农田生态系统这一简单的地理调控系统，通过对其每一实际过程与输入- 输出环节的分析，我们可以将其抽象为如图 8－3 的框图模型。

在图 8－3 中，y 为农田生态系统的经济收益；x1 为籽种播种量；x2 为肥料施用量；x3 为灌溉用水量；x4 的农药使用量；x5 为籽种投资；x6 为肥料投资；x7 为灌溉投资；x8 为农药投资；u 为初始投资；Wi（s)（i=1，2，⋯， 8)为各环节的传递函数；E（s)为反馈环节的传递函数。

图 8－3 表明，农田生态系统的经济收益（系统输出)决定于籽种、肥料、灌溉用水、农药使用量的输入；而籽种、肥料、灌溉用水、农药使用量等作为输出，又决定于各自的投资输入。在一定的输入（初始投资)下，经过系统的各运行环节就会得到一定的输出（经济收益)，然后又可以把输出引向输入端，将部分收益再用于投资。这样就构成了农田生态系统的反馈控制过程。在这个框图模型中，传递函数的功能是描述各输入-输出环节的动态关系。

（二)地理系统动态的传递函数

根据经典控制理论，对线性定常系统的动态特性的研究，可以用传递函数来描述系统的输入和输出之间的关系。所谓某环节的传递函数，就是在零初始条件下，该环节输出量（或称响应函数)的拉普拉斯（Laplace)变换 Y（s) 与输入量（或称驱动函数)的拉普拉斯变换 X（s)之比，即

Y(s)

W(s) = X(s)

其框图模型描述如下：

（1）

传递函数的概念一般只适用于线性定常系统，然而它也可以被扩充到一些非线性系统的研究之中。

这里需要说明的是，系统动态的微分方程描述与传递函数描述是一致的。在进行系统动态特征分析时，为了避免复杂的微分方程的求解工作，常

常需要将系统的微分方程描述形式转化为传递函数描述形式。假设某系统的某输入-输出环节的微分方程描述为

dnY + a dn −1Y + + a dY + a Y

dt n n−1 dt n−1 1 dt 0

= b0 X + b1

dX

dt + + bm−1

dm−1 X dt m−1

+ bm

d^mX dt ^m

(2)

在（2)式中，Y 代表输出，X 代表输入。

在零初始条件下，对方程（2)式两端作拉普拉斯变换得：

（sⁿ+an-1s^n-1+⋯+a1s+a0)Y（s)

=（b0+b1s+⋯+bm-1s^m-1+bms^m)X（s) 由上式容易得到这一环节的传递函数：

Y(s) b + b s + + b s^m−1 + b s^m

W(s) = = 0 1 m−1 m

(3)

X(s) sⁿ + a sⁿ⁻¹ + + a s+ a

其框图模型描述如下：

n−1 1 0

复杂的地理系统，往往包含着若干个输入-输出环节，各个环节以不同的方式联接就构成了复杂的系统动态过程。为了分析整个系统的动态过程，下面我们来讨论传递函数的合成运算。

1. 串联系统 如果一个系统的动态过程由两个输入-输出环节构成，第一个环节的输出又是第二个环节的输入，则这种联接方式构成了如下的串联系统：

如果记整个系统的传递函数为 W（s)，则上述框图可被简化为：

那么

W = W3 (s) = X 3 (s) · X 2 (s) = W (s)·W (s) (4)

( S)

X1 (s)

X 2 (s)

X1 (s)

即系统传递函数等于两个环节传递函数的乘积。同样的道理可以证明，由 n 个输入-输出环节构成的串联系统，其传递函数等于各个环节传递函数的乘积，即

W（s） = W1 (s)·W2 (s) Wn (s) = ∏Wi (s) (5)

i=1

1. 并联系统 所谓并联系统，是指流入系统的输入分别进入了不同的输入-输出环节，由各个环节的分别作用，共同决定系统的输出，即如下框图模型所示：

如果记系统的传递函数为 W（s)，则上述框图就被简化为：

由于 X4（s)=X2（s)+X3（s)

=W1（s)X1(s)+W2(s)X1(s)

=［W1（s)+W2(s)］X1(s) 所以系统的传递函数为：

W （s） = X 4 (s) = W (s) + W

(s) (6)

X1 (s)

同理可以证明，由 n 个输入-输出环节构成的并联系统，其传递函数等于各个环节传递函数之和，即

W(s) = W1 (s) + W2 (s) + + Wn (s) = ∑Wi (s) (7)

i= 1

1. 反馈系统 所谓反馈系统，就是把系统的输出再引向输入端，从而使系统的输入发生改变的一类控制系统，即如下图所示：

其中，W1（s)为系统输入-输出环节的传递函数，W2（s)为反馈环节的传递函数。如果记整个反馈控制系统的传递函数为 W（s)，则以上框图可被简化为

对于反馈控制系统，又可以根据不同的反馈机制，将它分为正反馈和负反馈两种情形。

（1)正反馈由于

C(s) = R(s) + X(s)

X(s) = C(s)·W2(s)

C(s) = e(s) ·W1(s)

因而

R(s) = e(s) - X(s) = e(s) - C(s) ·W2 (s)

= e(s) - e(s)·W1(s) ·W2(s)

= [1- W1 (s)W2 (s)]e(s)

所以，系统的传递函数为

W(s) = C(s) =

R(s)