=

e(s)W1 (s)

[1 − W1 (s)·W2 (s)]·e(s) W1 (s)

（8）

（2)负反馈由于

1 − W1 (s)·W2 (s)

e(s) = R(s) - X(s)

X(s) = C(s)W (s)

 ₂

C(s) = e(s)W (s)

 1

因而，

R(s) = e(s) + X(s) = e(s) + C(s)W2 (s)

= e(s) + e(s)W₁(s)W₂ (s)

= [1 + W1 (s)W2 (s)]e(s)

所以，系统的传递函数为

W(s) = C(s) =

R(s)

=

W1 (s)e(s)

[1 + W1 (s)W2 (s)e(s)] W1 (s)

（9）

1 + W1 (s)W2 (s)

对于图 8-3 描述的农田生态系统，通过运用以上传递函数的三种运算法则，经过合成运算可以得到系统的传递函数：

W(s) =

[W1 (s)W5 (s) + W2 (s)W6 (s) + W3 (s)W7 (s) + W4 (s)W8 (s)]

1 − E(s)[W1 (s)W5 (s) + W2 (s)W6 (s) + W3 (s)W7 (s) + W4 (s)W8 (s)]

任何一个地理系统，其复杂的动态关系都是以上三种关系（串联、并联、反馈)的组合与合成。因此有了以上传递函数的运算法则，就可以由各个环节的传递函数经过合成运算得到整个系统的传递函数。通过对系统传递函数的分析，又可以把握地理系统的动态特征，由此就可以对系统进行未来发展趋势的预测，从而为系统的调控提供决策依据。

二、状态空间法

上面我们介绍了传递函数在定常的地理系统动态分析中的应用。但许多复杂的地理系统可能是多输入、多输出，也可能是时变的系统。对这类性能指标要求严格的复杂系统，经典控制论的传递函数就显得无能为力了。本世纪 60 年代发展起来的现代控制论则可用于多输入、多输出的，线性的或者非线性的，定常的或者时变的系统。在现代控制论中，描述系统动态的基本方法就是状态空间法，描述系统的数学模型就是状态方程。

所谓状态空间是指状态变量构成的欧氏空间，它包含了描述系统的状态变量的一个最小集合。状态空间有时也被称为相空间，系统的状态随时间变化在状态空间中形成的运动轨迹被称为相轨线。为了描述系统在状态空间中的动态行为，需要状态方程（即输入对状态变量的作用关系式)和输出方程（或称为观察方程，即输出和状态变量的关系式)。一般地，一个系统的状态空间描述可以写成：

 dx

 dt = F

( x, u)

(10)

Y(t) = G(x, u)

在（10)式中，x 为状态变量向量，u 为输入（或控制)变量向量，Y 为输出变量向量。对于线性系统来说，其状态空间描述为

x = A(t) x + B(t)u

Y = C(t)x + D(t)u

(11)

（11)式中，A（t)为状态矩阵，B（t)为输入矩阵，C（t)为输出矩阵，D（t) 为输入矩阵。因为矩阵 A（t)、B（t)、C（t)、D（t)就完全决定了系统的动态特征，因而方程（11)式表示的系统也可被记为形如[A（t)，B（t)，C（t)， D（t)］的四联矩阵。当 A（t)=A，B（t)=B，C（t)=C，D（t)=D 都为常系数矩阵时，[A，B，C，D]就表示了一个线性定常系统。事实上，由微分方程或传递函数表示的线性定常系统都可以转化为状态空间的表示形式。设有某一连续的线性定常系统，其微分方程描述为

y^（n)+a1y^（n-1)+a2y^（n-2)+⋯+an-1y+any=u （12)

（12)式中，u 为输入变量，y 为输出变量，y⁽ⁱ⁾（i=1，2，⋯，n)为输出变量 y 的 i 阶导数，ai（i=1，2，⋯，n)为常系数。下面我们将它转化为状态空间描述形式。

在上述微分方程描述的系统中，若已知初始变量 y(0)及其各阶导数y⁽¹⁾(0)，y⁽²⁾(0)，⋯，y^(n-1)（0)，并且已知 t≥0 的输入变量 u（t)，则可以完全确定系统的未来行为。因此，我们可以取

 x1   y 

 x   y(1) 

X = 

2  =  

 Μ  Μ 

 x  y( n −1) 

 _n   

作为状态变量向量。将状态向量的每一个分量代入系统的微分方程中就得到：

x&1 = y&= x2

 _•

x₂ = &y&= x4

x& = &y&= x

3 3

 Μ

x&

= y ( n−1) = x

 n −1 n

x& = y⁽ⁿ⁾ = u − a y⁽ⁿ⁻¹⁾ − a y⁽ⁿ⁻²⁾ − − a y&− a y

 n 1 2

n −1 n



所以，只要取

= u − a1 xn − a2 xn−1 − − a n−1 x2 − a n x1

 0 1 0 0 

 0

 0 0 1 0   



A = 



Μ Μ Μ Μ 

 0

B =  Μ

   

 0 0 0 0 

 0

 − a − a − a

− a   

 n n−1

n− 2 1 

 1

就得到系统的状态方程：

X&= Ax + Bu

显然，系统的输出方程为

y=x1

（13）

因此，只要取 C=[1，0，0，⋯，0]，就可以得到其矩阵形式： y=Cx （14)

这样，联立（13)与（14)式就得到系统（12)式的状态空间描述：

x&= Ax + Bu

y = Cx

(15)

以上我们所讨论的是连续系统情形，但是在地理学研究中，有关信息的获取总是在离散的时间间隔上进行的，所以离散系统是经常可见的。对于离散系统，其状态空间的描述可以表述为

X(t + 1) = Φ(t + 1，t)X(t) + F(t)U(t)



Y(t) = H(t)X(t) + G(t)U(t)

(16)



或者 

X(t + 1) = Φ(t + 1，t)X(t) + F(t)U(t + 1)

(17)

Y(t) = H(t)X(t) + G(t)U(t)Y(t) = H(t)X(t) + G(t)U(t)

上式各矩阵与连续情形的叫法一样。系统（16)式与系统（17)式的差别在于（17)式的输入是同时的，而（16)式的输入是有时间延迟的。在地理调控系统中，延迟是不可避免的，譬如，生产投资过程、环境治理过程等都是有时间延迟的过程。当Φ(t+1，t)，F(t)，H(t)及 G(t)与时间无关时，上述系统就称作离散的定常系统。

由以上分析可以看出，要建立某一系统的状态空间模型，首先需要确定系统的状态变量、输入变量(或控制变量)及输出变量，然后再建立输入变量对状态变量的作用关系及输出变量和状态变量的关系。若有可能的话，将状态变量取作输出变量，则状态方程与输出方程就同为一个方程，这样对系统建模将带来极大的方便。譬如，考虑某地区的人口动态系统，假设该区域由几个小区域组成，如果记 xi(t)(i=1，2，⋯，n)为第 i 个小区域在第 t 时刻(第 t 年)的人口数量，那么向量

 x1 (t) 

X(i)

x (t)

 Μ 

 

(18)

x _n (t)

既可以作为该区域人口系统的状态变量，又可以作为其输出变量。显然， 该区域人口系统的状态不仅与每一个小区域的人口增长率有关，而且还与各小区域之间的相互作用，以及整个大区与外界环境之间的人口扩散有关。我们取来自于系统之外的人口迁入量 u(t)，以及从系统流向外界的人口迁出量

u′(t)作为系统的输入变量，即u(t) = 

u(t)



，则可建立该区域入口系统的

u′(t)

 

状态方程。

为了建立模型的方便，我们引入如下有关参量：对于每一个小区域 i， 记 ri 为人口生灭增长率(显然，ri 与该小区域的人口生育政策、出生率、死

亡率、卫生医疗条件等有关。),记e 为就业率, e^{′ = 1− e 为就业率. e ′ = 1 − e}

i i i i i

为未就业率。设 rij 为 i 小区的经济中心至 j 小区的经济中心的距离，显然rij=rji。

如果记 xij(t)为第 t 年由 j 小区流向 i 小区的人口数量；而 xji(t)为第t 年由 i 小区流向 j 小区的人口数量；xi0(t)为第 t 年由系统外界迁入 i 小区的人口数量，而 x0i(t)为第 t 年由 i 小区迁出系统外界的人口数量。那么我

们有

xi (t + 1) = (1 + ri )xi (t) + ∑xij (t) − ∑x ji (t)

j=i

j=i

+ xi0 (t) - x0i (t) (i = 1，2， ，n) (19)

由外界迁入系统的总人口 u(t)及由系统迁出外界的总人口 u′(t)，是由系统的总体调控行为决定的，但是它们在系统内部各小区域之间的数量分配却是由各小区域的就业率与未就业率决定的，即

xi0

(t) =

ei

∑ej j=1

(20)

x0i( t )

′

j

n

∑e′

u′(t) (21)

j=1

另外，一般地认为，由第 j 小区流向 i 小区的人口数量与 i 小区的就业率 ei 及 j 小区的人口数量成正比，而与该两小区经济中心之间的距离成反比，即

x (t) = k ei x ( t) (22)

ij j

ij

(22)式中，k 为经验常数。

e j

同理， x ji (t) = k (t) (23)

ji

将(20)式和(23)式代入(19)式得

 e j 

xi (t + 1) = (1 + ri ) − ∑k r xi ( t)

 j= 1 ji 

e e e^′

+ ∑k ⁱ x (t) + ⁱ u(t) − ⁱ u′(t)

j=i

rij j

∑ej ′

j=1 j

j=

如果记

(i = 1,

2, ,

n) (24)

 (1 + r ) − ∑k e j

k e1

k e1 

 1 j=1



rj1

r12

e1n 



Φ = 

k e2

 e j 

• r ) − k

k e2 

 r (1 ₂ r  r 

 21 

 e _n e _n

j=1

j2 



n−1

e j 

2n 



 k r k r

(1 + rn ) − ∑k r  

 n1 n2







 e









e′ 

j=1

jn  

 1

∑e j

 j=1

 e

− 1 

∑e′ 

j= 1 

e′

F =  2 2 

 ∑e j ∑e 

′

 j=1 j= 1 

Μ Μ 

 e e′ 

 n

− n 

 n n 

 ∑e ∑e′ 

 j=1 j j=1 

则该区域人口系统的状态方程为： X(t+1)=ΦX(t)+FU(t)(25)

第三节 最大值原理及其应用

地理系统调控，其根本目的就是希望通过采取各种调控方法和手段，使人类活动与地理环境之间相互适应、相互协调，从而使人与地理环境相互作用的地理系统朝着良性有序的方向发展。最佳调控策略，是地理调控系统所追求的理想目标。本节，我们将运用最佳控制理论的有关思想和方法，提出地理系统最佳调控的数学模型，并介绍最大值原理在地理系统调控中的运用。

一、地理系统最佳调控的数学模型

由上节的介绍，我们知道，对于一个具有 n 个状态变量和 m 个控制或输入变量的地理系统，其运动规律可以由以下形式的常微分方程组，即状态方程来描述：

dxi = f (x ，x ， ，x ，u ，u ， ，u )

dt i 1 2 n 1 2 m

i = 1，2， ，n，t 0 ≤t≤T (1)

(1)式中，xi(i=1，2，⋯，n)为状态变量，uj(j=1，2，⋯，m)为控制或输入变量。

1. 式也可以改写成向量形式：

dX = F(X，U) t≤0≤t≤T (2) dt

1. 式中，X=[x1，x2，⋯，xn]^T 是 Rn 空间中的向量，而

   U=[u1，u2，⋯，um]^T 是 Rm 空间中的向量，F(X，U)=[f1(x，u)，f2(x，u)，⋯，fn(x，u)］^T 为 n 维向量函数。

在有关实际问题的分析中，我们认为，对于状态空间的每一个点 X，以

及 R^m 空间中的每一个点 U，诸函数 fi(x，u)(i=1，2，⋯，n)是有定义的， 而且对 xi，uj(i=1，2，⋯，n；j=1，2，⋯，m)连续，对于 xi(i=1，2，⋯， n)连续可微。即函数 fi(x1，x2，⋯，xn；u1，u2，⋯，um)和

∂fi ( x1 , x2

x n ; u1 , u2

∂xi

, um ) (i，j = 1，2， ，n) 对变量x ，u 是连续的。

一般来说，在系统控制理论中，对控制 U(t)=[u1(t)，u2(t)，⋯，um(t)］

T 都要加一定的限制，譬如，要求诸控制 uj(t)(j=1，2，⋯，m)在时间区间

［t0，T］内分段连续，并且要求控制函数 U(t)满足如下的约束条件：

ϕi (x，u)≤0 i = 1，2， ，l(l≤m) (3)

从而保证控制域在 R^m 空间中的某一个有界闭集 Ut 内取值，即

U(t)∈Ut (4)

这样的控制 U(t)称为允许控制。其次，初值条件

X(t0)=X⁽⁰⁾ (5)

也是系统调控所必不可少的条件。另外，在一些系统的调控问题中还可以加入终端条件：

Ψi(X(t)，T)=0i=1， 2，⋯，k(k≤n) (6)

这里 T 可以是固定的，也可以是不固定的。

在 Rⁿ 空间中，所有满足(6)式的点 X(T)=[x1(T)，x2(T)，⋯，xn(T)]^T 组成的集合：

Ω={X(T)｜Ψi(X(T)，T)=0，X(T)∈Rⁿ} (7)

称为目标集。具有终端约束(6)式的问题，叫做可变右端问题。如果目标集Ω蜕化成一个点，即 X(T)=XT，(XT 是给定的)，则称为固定右端问题。而称无终端约束问题为自由端问题。给定允许控制 U(t)∈Ut，只要它满足终端条件(6)式，那么对于任何可能的系统初始状态

X(t ) = X^{(0) ∉Ω，都能唯一地确定受控对象之运动规律，使系统(2)式自X (0)}

出发，在 t=T 时刻到达目标集Ω。这样的允许控制称为可行控制。

地理系统的最佳调控，就是要在给定的系统初始状态X^{(0) ∉Ω下，确}

定一个可行控制 U*(t)，使系统(2)式自 X⁽⁰⁾出发，在 t=T 时刻到达目标集Ω， 而且使：

max(min)J[U(t)] = max(min){G[X(T)，T]

+ ∫T f [X(t)，U(t)]dt} = J[U^* (t)] (8)

t0 0

这样的控制 U*(t)称为最优控制，与这个控制相应的控制轨迹 X*(t)称为最佳控制轨迹。而泛函 J[U(T)]叫做评价系统质量优劣的目标泛函或质量指标或性能指标，简称指标，其中，G[X(t)，T]这一项称为终端指标。

二、最大值原理

通过以上的讨论，我们知道，要确定地理系统的最佳调控策略，就需要在状态方程(1)(或(2))式，允许控制约束(3)(或(4))式，初始条件(5)式，以及终端约束条件(6)式下，优化系统的性能指标 J[U(t)]，使之达到最大(或最小)值。那么，怎样(满足什么条件)才能使性能指标 J[U(t)]达到最大值呢？为了回答这一问题，以下我们来介绍最大值原理。

为了讨论问题的方便，我们不妨将终端约束条件(6)式改成显式形式：

x (T) = x^o i = 1，2， ，k (0≤k≤n) (6′)

这就意味着状态变量 x1，x2，⋯，xk 存在终端约束，而 xk+1，xk+2，⋯， xn 无终端约束。

为了给出最大值原理(性能指标 J[U(t)]取最大值的必要条件)，我们首先引入哈密顿函数：

H[X(t），U(t），λ(t）] = λ0 f 0 [X(t），U(t)]

+ ∑λ i (t)fi [X(t) ，U(t)] (9)

i=1

(9)式中，λ0 是常数，λi(t)(i=1，2，⋯，n)是附加的未知函数，称为伴随变量。首先，伴随变量必须满足伴随方程：

dλ_i ∂H ⁿ ∂f_i

dt = ∂x = -∑λ i ∂x

(i = 1,

2, , n)

(10)

i i=1 i

n

而且必须有( λ0 )

∑[λ ( t)]² ≠0(即所有乘子不能同时变为零)及

i=1

λ0=0 或λ0=1 (11)

其次

dxi =  ∂H = f (X(t) ，U(t)) (i = 1，2， ，n) (12)

dt ∂λi

再次，对于所有 t0≤t≤T，必须有

H[X(t)，U(t) ，λ(t)] = max H[X(t) ，U(t)，λ(t)] (13)

U∈U _t

最后，对于(6′)式没有规定终端值的每一个状态变量，应有相应的横截条件：

■λ(T)=(i=k+1，k+2，⋯，n)(14)

如果终端时间 T 没有规定，则有附加条件：

H(T)=0 (15)

这就是说，如果 U(t)是使性能指标 J[U(t)]达到最大值的最佳控制，X(t)是相应的最佳轨迹，则必须存在一个伴随向量λ(t)，使得(10)—(15)式中的所有条件均满足。

需要强调的是，在上述条件(11)式中，λ0=0 时的情况是反常的；λ0=1 时的情况是正常的。但是，这一附加条件却使上述最大值原理的描述更具一般性。读者不难验证，一维控制问题的最大值原理只不过是上述原理的一个特例。

三、可更新资源的最佳利用策略

可更新资源主要是指生物资源和某些动态非生物资源。农业生产所利用的资源大部分属于可更新资源，例如，农作物、森林、牧草、野生动物、牲畜、淡水和海洋水产品(鱼类、虾等)以及水资源、土壤、人力资源等。可更新资源可借助于自然生长、繁殖不断地进行自我更新而维持一定的数值。如果对这些资源进行科学管理和合理地开发利用，将会取之不尽，用之不竭； 反之，管理和使用不当，将会使这些资源受到损害，甚至完全枯竭，从而给人类的经济活动带来巨大的损失。一般地讲，可更新资源枯竭的危险要比非可更新资源更大。这是因为所有可更新资源都要受到自然更新能力的限制， 如果人们的生产经营活动不够得当，就可能超出这种限制从而导制资源枯竭，甚至会导致不可逆转的永久性枯竭和灭绝。如果研究单一种类可更新资源的管理利用问题，则这一问题就是一维系统的最佳调控问题。这里，我们取资源的储备量 x=x(t)为系统的状态变量，资源收获量 u=u(t)为控制变量。如果记该种可更新资源的自然增长率函数为 F(x)，则该调控系统的动态描述为：

 dx

 dt = F(x) - u(t)

x(0) = x0

在收获过程中，一个最基本的要求就是

(16)

x(t)＞0 (17)

为了维护资源的再生能力，我们对收获量提出以下约束umin≤u(t)≤umax (18)

如果资源的单位收获量价格为 P，成本为 C(x)，那么持续的经济收益为

+∞

J = [P - C(x)]u(t)dt (19)

0

若货币贴现率为δ(δ＞0)，那么上述收益折成现值后的总经济收益为

J(u) = +∞ E^-bt[P − C( x)u( t)dt]

0

(20)

我们的目的是在维持生态平衡的前提下获得持续的最佳经济效益。因此，问题的实质就是在约束条件(16)，(17)，(18)式下求目标泛函(20)式的极大值。这就意味着确定一个允许的收获量 u^*(t)，使资源储量稳定在某个水平上而获得最佳收益。利用最大值原理可知最优状态水平 x*满足如下方程：

dρ(x) = σ[ρ − C(x)] (21) dx

1. 式中，ρ(x)=F(x)[P-C(x)]表示资源储量为 x 时的持续经济利润。若方程(21)式有唯一的解 x^*，那么资源的最佳利用策略为：

u max



u^*(t) = F(x^* )

u

当x＞x^*时当x = x^*时

当x＜x^*时

 min

如果在种群水平上探讨可更新资源(如森林资源、鱼类资源、草场资源等生物资源)的管理利用问题，则状态变量 x=x(t)就代表在 t 时刻资源(林木、鱼类、牧草等)的种群水平，而控制变量 u=u(t)则代表森林的采伐速率、鱼的捕获速率、牧草的采食速率等。对于这类生物资源，其种群自然增长过程可以用逻辑斯谛(Logistic)方程描述，即自然增长率函数为

F(x) = rx(1 - x ) (22)

K

1. 式中 r 代表资源种群的内容增长率，K 代表环境容纳量。如果认为收获成本与种群水平成反比，则可以假设：

C(x) = C

x

1. 式中，C 为常数。将(22)式与(23)式代入(21)式可以得一正数解：



_* K  C

δ  C

δ ²

8δC

1 

 2 

x = 4  PK + 1− r  +  PK + 1− r  + δ  

(24)

   

 

此时，资源的最佳利用策略为

u min

当x＜x * 时

  x^* 

u^*(t) = rx^*1 −  当x = x * 时

 K 

u max

当x＞x * 时